ધારો કે અતિવલય H: frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1 અને ઉપવલય E: 3

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અને $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ સમાન છ. જો $e_{H}$ અને $e_{E}$ એ અનુક્રમે H અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય, તો $12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$ નું મૂલ્ય છે.

A

$42$

B

$40$

C

$36$

D

$47$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$\frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{1}=1$

$e _{ H }=\sqrt{1+\frac{1}{ a ^{2}}} \quad \frac{ x ^{2}}{4}+\frac{ y ^{2}}{3}=1$

$\ell \cdot R .=\frac{2}{ a } \quad \ell R =\frac{2 \times 3}{\frac{2}{1-\frac{3}{4}}}=\frac{1}{2}$

$\frac{2}{ a }=3$

$a =\frac{2}{3}$

$e _{ H }=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$

$12\left( e _{ H }^{2}+ e _{ E }^{2}\right)=12\left(\frac{13}{4}+\frac{1}{4}\right)$

$=\frac{12 \times 14}{4}=42$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

ધારો કે $P(a \,sec\, \theta\, , b\, tan \,\theta )$ અને $Q (a\, sec\, \phi ,\, b\, tan\,\phi ,)$ જ્યાં ,$\theta \,\, + \;\,\varphi \,\, = \,\,\frac{\pi }{2},$ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(h, k)$ એ $P$ અને $Q$, આગળનાં અભિલંબોનું છેદબિંદુ હોય,તો $k = …….$

hard

જો અતિવલયની અનુબધ્ધઅક્ષની લંબાઈ $5$ અને બે નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર $13$ હોય તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2019)

રેખાઓ $x – y = 0, x + y = 0$ અને $x^{2} – y^{2}= a^{2}$ અતિવલય ના કોઇ સ્પર્શક વડે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય છે ?

hard

જો અતિવલયની નાભીઓ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ની નાભીઓ સમાન હોય અને અતિવલયની ઉકેન્દ્રીતા એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રીતાથી $\frac{15}{8}$ ગણી છે, તો અતિવલય પરના બિંદુ $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ નું ન્યૂનતમ નાભી અંતર મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2024)

ધારો કે $P \left(x_0, y_0\right)$ એ અતિવલય $3 x^2-4 y^2=36$ પર નું રેખા. $3 x+2 y=1$ થી સૌથી નજીકનું બિંદુ છે.$\sqrt{2}\left(y_0-x_0\right)=…………..$

hard

(JEE MAIN-2023)