ધારો કે અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$ એવા છે કે જેથી $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અને $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ સમાન છ. જો $e_{H}$ અને $e_{E}$ એ અનુક્રમે H અને ઉત્કેન્દ્રતા હોય, તો $12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$ નું મૂલ્ય છે.

ધારો કે $a >0$ અને $b >0$ આપેલ છે. તથા અતિવલય $\frac{x^{2}}{ a ^{2}}-\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e$ અને $l$ છે. ધારો કે, તેના અનુબદ્ધ અતિવલય ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $e ^{\prime}$ અને $l$ ' છે. જે $e ^{2}=\frac{11}{14} l$ અને $\left( e ^{\prime}\right)^{2}=\frac{11}{8} l^{\prime}$ હોય, તો $77 a +44 b$ ની કિમત.............. છે.

અતિવલય $16 \mathrm{x}^{2}-9 \mathrm{y}^{2}+$ $32 x+36 y-164=0$ પરના બિંદુ $\mathrm{P}$ અને તેની નાભીઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ મેળવો.

એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ નાં શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ધારોક ઉપવલય $E$ ની પ્રધાન અને ગૌણ અક્ષો, અતિવલય $H$ ની અનુક્રમે મુખ્ય અને અનુબદ્ધ અક્ષો સાથે સંપાતિ છે. ધારો કે $E$ અને $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ છે. જો ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ હોય, તો $113 l$ નું મૂલ્ય ............. છે.

ધારો કે $\lambda x-2 y=\mu$ એ અતિવલય $a^{2} x^{2}-y^{2}=b^{2}$ નો સ્પર્શક છે. તો $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2}-\left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ = ......

ધારો કે $H _{ n }: \frac{x^2}{1+n}-\frac{y^2}{3+n}=1, n \in N$ છે.ધારો કે $k$ એ $n$ ની એવી લઘુતમ યુગ્મ કિંમત છે કે જેથી $H _{ k }$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સંમેય સંખ્યા થાય.જો $H _{ k }$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ હોય, તો $21\,l =........$