माना $\mathrm{A}=\{1,3,4,6,9\}$ तथा $\mathrm{B}=\{2,4,5,8,10\}$ हैं। मान लो $\mathrm{A} \times \mathrm{B}$ पर एक संबंध $\mathrm{R}=\left\{\left(\left(\mathrm{a}_1, \mathrm{~b}_1\right)\right.\right.$, $\left.\left(a_2, b_2\right)\right): a_1 \leq b_2$ तथा $\left.b_1 \leq a_2\right\}$ है। तो $R$ में अवयवों की संख्या है :

यदि $R _{1}$ तथा $R _{2}$ समुच्चय $A$ में तुल्यता संबंध हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $R _{1} \cap R _{2}$ भी एक तुल्यता संबंध है।

वास्तविक संख्याओं $x $ तथा $ y $ के लिए $ x Ry$ $\Leftrightarrow $  $x - y + \sqrt 2 $ एक अपरिमेय संख्या है, तब $R $ है

यदि $ R$  समुच्चय $A$ से $ B $ में संबंध है तथा $S$ समुच्च्य $B$  से $C $ में संबंध है, तब संबंध $ SoR $ है

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया हुआ है। $P ( X )$ जो कि $X$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से $P ( X )$ में एक संबंध $R$ परिभाषित कीजिए :

$P ( X )$ में उपसमुच्चयों $A , B$ के लिए, $ARB$, यदि और केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R , P ( X )$ में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

मान लीजिए कि $XY$ -तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय $L$ है और $L$ में $R =\left\{\left( L _{1}, L \right)\right.$ : $L_1$, समान्तर है $L_2$, के $\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है। रेखा $y=2 x+4$ से संबधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।