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माना अतिपरवलय $\frac{\mathrm{x}^2}{16}-\frac{\mathrm{y}^2}{9}=1$ के उत्केन्द्रता $\mathrm{e}_1$ है तथा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ जो अतिपरवलय की नाभियों से होकर जाता है, की उत्केन्द्रता $\mathrm{e}_2$ है। यदि $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$ है, तो दीर्घवृत्त की $\mathrm{x}$-अक्ष के समांतर तथा $(0,2)$ से होकर जाने वाली जीवा की लम्बाई है:
$4 \sqrt{5}$
$\frac{8 \sqrt{5}}{3}$
$\frac{10 \sqrt{5}}{3}$
$3 \sqrt{5}$
Solution
$ H: \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 \quad e_1=\frac{5}{4} $
$\therefore e_1 e_2=1 \Rightarrow e_2=\frac{4}{5}$
Also, ellipse is passing through $( \pm 5,0)$
$ \therefore a=5 \text { and } b=3 $
$ E: \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
End point of chord are $\left( \pm \frac{5 \sqrt{5}}{3}, 2\right)$
$\therefore \mathrm{L}_{\mathrm{PQ}}=\frac{10 \sqrt{5}}{3}$
