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रेखा $lx + my + n = 0$ अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की स्पर्श रेखा होगी, यदि
${a^2}{l^2} + {b^2}{m^2} = {n^2}$
${a^2}{l^2} - {b^2}{m^2} = {n^2}$
$a{m^2} - {b^2}{n^2} = {a^2}{l^2}$
इनमें से कोई नहीं
Solution
If $y = Mx + C$ is tangent to hyperbola $\frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, then $C ^2= a ^2 M ^2- b ^2$.
$lx + my + n =0 \to y =-\frac{1}{ m } x -\frac{ n }{ m }$
Comparing this equation with $y = Mx + C$, we get
$M=-\frac{1}{ m }, C =-\frac{ n }{ m }$
Now, $C ^2= a ^2 M ^2- b ^2$
$\frac{ n ^2}{ m ^2}= a ^2 \frac{1^2}{ m ^2}- b ^2$
$\Rightarrow n ^2= a ^2 1^2- b ^2 m ^2$
Similar Questions
माना कि $H: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, जहाँ $a>b>0, x y$ – समतल (plane) में एक ऐसा अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) $L M$ उसके एक शीर्ष (vertex) $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण (angle) अंतरित (subtend) करता है। माना कि त्रिभुज (triangle) $L M N$ का क्षेत्रफल (area) $4 \sqrt{3}$ है।
| सूची – $I$ | सूची – $II$ |
| $P$ $H$ के संयुग्मी अक्ष की लम्बाई है | $1$ $8$ |
| $Q$ $H$ की उत्केन्द्रता (eccentricity) है | $2$ ${\frac{4}{\sqrt{3}}}$ |
| $R$ $H$ की नाभियों (foci) के बीच की दूरी है | $3$ ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ |
| $S$ $H$ के नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई है | $4$ $4$ |
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
