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माना $a$ तथा $b$ दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं। माना एक $GP$, जिसका पहला पद $\mathrm{a}$ तथा तीसरा पद $\mathrm{b}$ है, का $11$ वाँ पद, एक अन्य $GP$, जिसका पहला $\mathrm{a}$ तथा पाचवाँ पद $\mathrm{b}$ है, के $\mathrm{p}$ वें पद के बराबर है। तो $\mathrm{p}$ बराबर है
$20$
$25$
$21$
$24$
Solution
$ 1^{\text {st }} G P \Rightarrow t_1=a, t_3=b=a r^2 \Rightarrow r^2=\frac{b}{a} $
$ t_{11} =a r^{10}=a\left(r^2\right)^5=a \cdot\left(\frac{b}{a}\right)^5 $
$2^{\text {nd }} \text { G.P. } \Rightarrow T_1=a, T_5=a r^4=b $
$\Rightarrow r^4 =\left(\frac{b}{a}\right) \Rightarrow r=\left(\frac{b}{a}\right)^{1 / 4} $
$ T_p =a r^{p-1}=a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}} $
$ t_{11} =T_p \Rightarrow a\left(\frac{b}{a}\right)^5=a\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}} $
$ \Rightarrow 5 =\frac{p-1}{4} \Rightarrow p=21$
