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यदि $z$ अधिकतम मापांक की एक सम्मिश्र संख्या इस प्रकार है कि $\left| {z + \frac{1}{z}} \right| = 1$ एवं $z, x$ अक्ष पर नहीं है, तो
${\mathop{\rm Im}\nolimits} (z) = 0$
${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = 0$
$amp(z) = \pi $
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) माना $z = r(\cos \theta + i\sin \theta )$
तब$\left| {z + \frac{1}{z}} \right| = 1\,\, \Rightarrow {\left| {z + \frac{1}{z}} \right|^2}$=1
$⇒ {\left| {r(\cos \theta + i\sin \theta ) + \frac{1}{r}(\cos \theta – i\sin \theta )} \right|^2} = 1$.
$⇒ {\left( {r + \frac{1}{r}} \right)^2}{\cos ^2}\theta + {\left( {r – \frac{1}{r}} \right)^2}{\sin ^2}\theta = 1$
$⇒ {r^2} + \frac{1}{{{r^2}}} + 2\cos 2\theta = 1$
$|z| = r$ उच्चिष्ठ है इसलिए $\frac{{dr}}{{d\theta }} = 0$
समीकरण $(i)$ को $\theta $ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2r\frac{{dr}}{{d\theta }} – \frac{2}{{{r^3}}}\,\frac{{dr}}{{d\theta }} – 4\sin 2\theta = 0$
$\frac{{dr}}{{d\theta }} = 0$ का मान रखने पर $\sin 2\theta = 0 ⇒ \theta = 0$या $\frac{\pi }{2}$
$⇒z$ पूर्णत: वास्तविक या पूर्णत: काल्पनिक है।
