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एक दीर्घवत्त, $E : \frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}+\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1, a ^{2}> b ^{2}$, बिन्दु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से होकर जाता है तथा उसकी उत्केन्द्रता $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि एक वत्त जिसका केन्द्र $E$ की नाभि $F (\alpha, 0), \alpha>0$ पर और त्रिज्या $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है, दीर्घवत्त $E$ को दो बिन्दुओं $P$ तथा $Q$ पर काटता है, तो $PQ ^{2}$ बराबर है
$\frac{8}{3}$
$\frac{4}{3}$
$3$
$\frac{16}{3}$
Solution
$\frac{3}{2 a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1 \text { and } 1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow a^{2}=3 b^{2}=2$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1…..(i)$
Its focus is $(1,0)$
Now, eqn of circle is
$(x-1)^{2}+y^{2}=\frac{4}{3}…..(ii)$
Solving $(i)$ and $(ii)$ we get
$y=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}, x=1$
$\Rightarrow P Q^{2}=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{16}{3}$
