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1.Relation and Function
hard
माना $f(x) = {x^2} + x + \sin x - \cos x + \log (1 + |x|)$ अन्तराल $[0, 1]$ में परिभाषित है। $f(x)$ के अन्तराल $[-1, 1]$ में विषम प्रसार $(odd\, extensions)$ है
A
${x^2} + x + \sin x + \cos x - \log (1 + |x|)$
B
$ - {x^2} + x + \sin x + \cos x - \log (1 + |x|)$
C
$ - {x^2} + x + \sin x - \cos x + \log (1 + |x|)$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(b) $[0, 1]$ से $[-1, 1]$ के विषम प्रसार का अर्थ है कि हमें $(a), (b), (c), (d)$ में वह फलन ज्ञात करना है जो प्रतिबन्ध $f( – x) = – f(x)$ को सन्तुष्ट करता है।
अब $| – x|\,\, = \,\,|x|$
$f( – x) = {x^2} – x – \sin x – \cos x + \log \,(1 + |x|)$
= $-$ [$(b)$ में दिया गया फलन है]
$\therefore \,\,\,({\rm{b}})$ सही है। इसके अतिरिक्त कोई भी विकल्प इस प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट नहीं करता है।
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