माना एक त्रिभुज, जिसके शीर्ष $A ( a , 3), B ( b , 5)$ तथा $C ( a , b ), ab > 0$ हैं, का परिकेन्द्र $P (1,1)$ है। यदि रेखा $AP$, रेखा $BC$ के बिन्दु $Q \left( k _1, k _2\right)$ पर काटती है, तो $k _1+ k _2$ बराबर है:

त्रिभुज $A B C$ की भुजा $A B$ तथा $A C$ पर बिंदु $X, Y$ क्रमश: इस प्रकार स्थापित हैं कि रेखाखंड $X Y$ और $B C$ समांतर हैं । निम्नलिखित में से कौन से कथन हमेशा उचित हैं? (यहाँ त्रिभुज $P Q R$ का क्षेत्रफल $[P Q R]$ से निर्देशित किया गया है)

$(I)$ $[B C X]=[B C Y]$

$(II)$ $[A C X] \cdot[A B Y]=[A X Y] \cdot[A B C]$

दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिंदु $(-2,-1),(4,0),(3,3)$ और $(-3,2)$ एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

$a$ भुजा का एक वर्ग $x$ -अक्ष के ऊपर स्थित है, वर्ग का एक शीर्ष मूलबिन्दु पर है। मूलबिन्दु से गुजरने वाली भुजा $x$ - अक्ष की धनात्मक दिशा से $\alpha $ कोण बनाती है, $\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{4}} \right)$. वर्ग के मूल बिन्दु से नहीं गुजरने वाले विकर्ण का समीकरण है

बिन्दुओं $({a_1},{b_1})$ तथा $({a_2},{b_2})$ से समान दूरी पर स्थित किसी बिन्दु का बिन्दुपथ $({a_1} - {a_2})x + ({b_1} - {b_2})y + c = 0$ है, तब $‘c’$ का मान है

यदि $A \,(2, 5),\, B \,(4, -11)$ तथा $C$, रेखा $9x + 7y + 4 = 0$ पर स्थित हैं, तब त्रिभुज $ABC$ के केन्द्रक का बिन्दुपथ एक सरल रेखा है जो निम्न में से किस सरल रेखा के समान्तर है