જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માંથી દોરવામાં આવેલ સ્પર્શકો બિંદુ $R(\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}-2)$ માં મળે છે. જો  $S$ એ ઉપવલયની ઋણ મુખ્ય અક્ષની નાભી છે. તો  $SP ^{2}+ SQ ^{2}$ ની કિમંત મેળવો.

આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ

$36 x^{2}+4 y^{2}=144$

જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ નો કોઈપણ સ્પર્શક અક્ષો પર $h$ અને $k$ લંબાઈનો અંત:ખંડ કાપે, તો.....

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરનું બિંદુ $P$ એ દ્રીતીય ચરણમાં એવી રીતે આપેલ છે કે જેથી બિંદુ  $\mathrm{P}$  આગળનો ઉપવલયનો સ્પર્શક એ રેખા $x+2 y=0$ ને લંબ થાય છે. અહી $S$ અને $\mathrm{S}^{\prime}$ એ ઉપવલયની નાભીઓ છે અને $\mathrm{e}$ એ ઉત્કેન્દ્રિતા છે. જો $\mathrm{A}$ એ ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ છે તો $\left(5-\mathrm{e}^{2}\right) . \mathrm{A}$ ની કિમંત મેળવો.

ધારોકે કેન્દ્ર $(1,0)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{1}{2}$ હોય તેવા ઊપવલયની પ્રધાન અક્ષ -અક્ષ પર છે જો તેની ગૌણ અક્ષ નાભિઓ પર $60^{\circ}$ ખૂણો આંતરે, તો તેની પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈઓના સરવાળાનો વર્ગ $......$ થાય.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{4 a^{2}}=1$ ના સ્પર્શક અને યામક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું  ન્યૂનતમ  ક્ષેત્રફળ $kab$ હોય તો $\mathrm{k}$ ની કિમંત મેળવો.