ताश के $52$ पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं?

$E :$ 'निकाला गया पत्ता हुकुम का है

$F :$ 'निकाला गया पत्ता इक्का है'

In a deck of $52$ cards, $13$ cards are spades and $4$ cards are aces.

$\therefore  $ $ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}$  (the card drawn is a spade) $=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$

$\therefore  $ $ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}$  (the card drawn is a ace) $=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$

In the deck of cards, only $1$ card is an ace of spades.

$ \mathrm{P}(\mathrm{EF})=\mathrm{P}$ (the card drawn is spade and an ace) $=\frac {1}{52}$

$\mathrm{P}(\mathrm{E}) \times \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{1}{4} \frac{1}{13}=\frac{1}{52}=\mathrm{P}(\mathrm{EF})$

$\Rightarrow \mathrm{P}(\mathrm{E}) \times \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{EF})$

Therefore, the events $\mathrm{E}$ and $\mathrm{F}$ are independent.