सिद्ध कीजिए कि यदि $E$ और $F$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो $E$ और $F ^{\prime}$ भी स्वतंत्र होंगी।
since $\mathrm{E}$ and $\mathrm{F}$ are independent, we have
$\mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$ ......... $(1)$
From the venn diagram in Fig it is clear that $E \cap \mathrm{F}$ and $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}$ are mutually exclusive events and also $\mathrm{E}=(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) \cup\left(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}^{\prime}\right)$
Therefore $\quad P(E)=P(E \cap F)+P\left(E \cap F^{\prime}\right)$
or $P\left(E \cap F^{\prime}\right)=P(E)-P(E \cap F)$
$=\mathrm{P}(\mathrm{E})-\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F})$ (by $(1))$
$=\mathrm{P}(\mathrm{E})(1-\mathrm{P}(\mathrm{F}))$
$=\mathrm{P}(\mathrm{E})$ . $\mathrm{P}\left(\mathrm{F}^{\prime}\right)$
Hence, $\mathrm{E}$ and $\mathrm{F}^{\prime}$ are independent
यदि घोड़े $A$ के किसी दौड़ को जीतने की प्रायिकता $1/4$ हो और घोड़े $B$ के उसी दौड़ को जीतने की प्रायिकता $1/5$ हो, तो उनमें से किसी एक के दौड़ को जीतने की प्रायिकता है
एक विशेष समस्या को $A$ और $B$ द्वारा स्वतंत्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमश : $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से तथ्यत: कोई एक समस्या हल कर लेता है।
एक थैले में $9$ डिस्क हैं जिनमें से $4$ लाल रंग की, $3$ नीले रंग की और $2$ पीले रंग की हैं। डिस्क आकार एवं माप में समरूप हैं। थैले में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायकिता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई डिस्क लाल रंग की है या नीले रंग की है।
चार व्यक्तियों के एक लक्ष्य पर ठीक प्रकार से प्रहार करने की प्रायिकताए क्रमश: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ तथा $\frac{1}{8}$ हैं। यदि सभी इस लक्ष्य पर स्वतंत्र रूप से प्रहार करते हैं, तो लक्ष्य पर आघात होने की प्रायिकता है :
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।