निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है :
सर्वकमिका $\operatorname{cosec}^{2} A=1+\cot ^{2} A$ को लागु करके
$\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है :
सर्वकमिका $\operatorname{cosec}^{2} A=1+\cot ^{2} A$ को लागु करके
$\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
$\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
Using the identity $\operatorname{cosec}^{2} A =1+\cot ^{2} A$
$L.H.S.$ $=\frac{\cos A -\sin A +1}{\cos A +\sin A -1}$
$=\frac{\frac{\cos A}{\sin A}-\frac{\sin A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}}{\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}}$
$=\frac{\cot A-1+\operatorname{cosec} A}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A}$
$=\frac{\{(\cot A)-(1-\operatorname{cosec} A)\}\{(\cot A)-(1-\operatorname{cosec} A)\}}{\{(\cot A)+(1-\operatorname{cosec} A)\}\{(\cot A)-(1-\operatorname{cosec} A)\}}$
$=\frac{(\cot A-1+\operatorname{cosec} A)^{2}}{(\cot A)^{2}-(1-\operatorname{cosec} A)^{2}}$
$=\frac{\cot ^{2} A+1+\operatorname{cosec}^{2} A-2 \cot A-2 \operatorname{cosec} A+2 \cot A \operatorname{cosec} A}{\cot ^{2} A-\left(1+\operatorname{cosec}^{2} A-2 \operatorname{cosec} A\right)}$
$=\frac{2 \operatorname{cosec}^{2} A+2 \cot A \operatorname{cosec} A-2 \cot A-2 \operatorname{cosec} A}{\cot ^{2} A-1-\operatorname{cosec}^{2} A+2 \operatorname{cosec} A}$
$=\frac{2 \operatorname{cosec} A(\operatorname{cosec} A+\cot A)-2(\cot A+\operatorname{cosec} A)}{\cot ^{2} A-\operatorname{cosec}^{2} A-1+2 \operatorname{cosec} A}$
$=\frac{(\operatorname{cosec} A+\cot A)(2 \operatorname{cosec} A-2)}{-1-1+2 \operatorname{cosec} A}$
$=\frac{(\operatorname{cosec} A+\cot A)(2 \operatorname{cosec} A-2)}{(2 \operatorname{cosec} A-2)}$
$=\operatorname{cosec} A+\cot A$
$= R . H.S.$
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सर्वसमिका $\sec ^{2} \theta=1+\tan ^{2} \theta$ का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि
$\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$
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$\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}$
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
$(i)$ $\tan A$ का मान सदैव $1$ से कम होता है।
$(ii)$ कोण $A$ के किसी मान के लिए $\sec A =\frac{12}{5}$
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
$(i)$ $\tan A$ का मान सदैव $1$ से कम होता है।
$(ii)$ कोण $A$ के किसी मान के लिए $\sec A =\frac{12}{5}$
$(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)=..........$
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निम्नलिखित सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है :
$\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta$
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$\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta$
यदि $\tan A =\frac{4}{3},$ तो कोण $A$ के अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।
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