સાબિત કરો કે રેખાઓ$y=m_{1} x+c_{1}, y=m_{2} x+c_{2}$ અને $x=0$ વડે રચાતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ શોધો.
સાબિત કરો કે રેખાઓ$y=m_{1} x+c_{1}, y=m_{2} x+c_{2}$ અને $x=0$ વડે રચાતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ શોધો.
Given lines are
$y=m_{1} x+c_{1}$.....$(1)$
$y=m_{1} x+c_{2}$.....$(2)$
$x=0$.....$(3)$
We know that line $y=m x+c$ meets the line $x=0$ ($y-$ axis) at the point $(0, c) .$ Therefore, two vertices of the triangle formed by lines $(1)$ to $(3)$ are $\left. P \left(0, c_{1}\right) \text { and } Q \left(0, c_{2}\right) \text { (Fig } .\right)$
Third vertex can be obtained by solving equations $( 1 )$ and $( 2 )$. Solving $(1)$ and $(2)$, we get
$x=\frac{\left(c_{2}-c_{1}\right)}{\left(m_{1}-m_{2}\right)}$ and $y=\frac{\left(m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}\right)}{\left(m_{1}-m_{2}\right)}$
Now, the area of the triangle is
$=\frac{1}{2} | 0\left(\frac{m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}}{m_{1}-m_{2}}-c_{2}\right)+\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(c_{2}-c_{1}\right)+0\left(c_{1}-\frac{m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)=\frac{\left(c_{2}-c_{1}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$
Similar Questions
વિધાન: જો ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર તેના લંબકેન્દ્ર તરીકે ઓળખાય તો તે શોધી શકાય છે.કારણ : ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર, લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર સમરેખ હોય.
વિધાન: જો ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર તેના લંબકેન્દ્ર તરીકે ઓળખાય તો તે શોધી શકાય છે.કારણ : ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર, લંબકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર સમરેખ હોય.
બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(2\cos \theta ,2\sin \theta )$ ને જોડતા રેખાખંડને $2 : 3$ ગુણોતરમાં અંત:વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ . . . . દર્શાવે.
બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(2\cos \theta ,2\sin \theta )$ ને જોડતા રેખાખંડને $2 : 3$ ગુણોતરમાં અંત:વિભાજન કરતા બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ . . . . દર્શાવે.
- [IIT 1986]
એક સમબાજુ ત્રિકોણનું અંત:કેન્દ્ર $ (-2, 5) $ છે તેની એકબાજુ $ y -$ અક્ષ પર હોય, તો ત્રિકોણની બાજુઓનું માપ શોધો.
એક સમબાજુ ત્રિકોણનું અંત:કેન્દ્ર $ (-2, 5) $ છે તેની એકબાજુ $ y -$ અક્ષ પર હોય, તો ત્રિકોણની બાજુઓનું માપ શોધો.
અહી $m_{1}, m_{2}$ એ ચોરસની પાસપાસને બાજુઓના ઢાળ છે કે જેથી $a^{2}+11 a+3\left(m_{2}^{2}+m_{2}^{2}\right)=220$ થાય. જો ચોરસનું એક શિરોબિંદુ $(10(\cos \alpha-\sin \alpha), 10(\sin \alpha+\cos \alpha))$ છે કે જ્યાં $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ અને એક વિકર્ણનું સમીકરણ $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y =10$ હોય તો $ 72\left(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha\right)+a^{2}-3 a+13$ ની કિમંત મેળવો.
અહી $m_{1}, m_{2}$ એ ચોરસની પાસપાસને બાજુઓના ઢાળ છે કે જેથી $a^{2}+11 a+3\left(m_{2}^{2}+m_{2}^{2}\right)=220$ થાય. જો ચોરસનું એક શિરોબિંદુ $(10(\cos \alpha-\sin \alpha), 10(\sin \alpha+\cos \alpha))$ છે કે જ્યાં $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ અને એક વિકર્ણનું સમીકરણ $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y =10$ હોય તો $ 72\left(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha\right)+a^{2}-3 a+13$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2022]
ધારો કે $A\ (2, -3)$ અને $B\ (-2, 1)$ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે. જો આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રકેન્દ્ર (મધ્યકેન્દ્ર) $2x + 3y = 1$ રેખા પર ખસેડવામાં આવે તો શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ કઈ રેખા હશે ?
ધારો કે $A\ (2, -3)$ અને $B\ (-2, 1)$ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે. જો આ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રકેન્દ્ર (મધ્યકેન્દ્ર) $2x + 3y = 1$ રેખા પર ખસેડવામાં આવે તો શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ કઈ રેખા હશે ?