दिखाइए कि $(1+x)^{2 n}$ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक, $(1+x)^{2 n-1}$ के प्रसार में दोनों मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर होता है।
As $2 n$ is even so the expansion $(1+x)^{2 n}$ has only one middle term which is
$\left(\frac{2 n}{2}+1\right)^{\text {th }}$ i.e., $(n+1)^{\text {th }}$ term.
The $(n+1)^{\text {th }}$ term is $^{2 n} C_{n} x^{n}$. The coefficient of $x^{n}$ is $^{2 n} C_{n}$
Similarly, $(2 n-1)$ being odd, the other expansion has two middle terms,
$\left(\frac{2 n-1+1}{2}\right)^{ th }$ and $\left(\frac{2 n-1+1}{2}+1\right)^{ th }$ i.e., $n^{ th }$ and $(n+1)^{ th }$ terms. The coefficients of these terms are $^{2n - 1}{C_{n - 1}}$ and $^{2n - 1}{C_n},$ respectively.
$^{2n - 1}{C_{n - 1}} + {\,^{2n - 1}}{C_n} = {\,^{2n}}{C_n}$ [ As ${^n{C_{r - 1}} + {\,^n}{C_r} = {\,^{n + 1}}{C_r}}$ ] as required.
$\left(2 \mathrm{x}^2+\frac{1}{2 \mathrm{x}}\right)^{11}$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{10}$ तथा $\mathrm{x}^7$ के गुणांको का निरपेक्ष अंतर बराबर है
माना किसी धनपूर्णाक $n$ के लिए, $(1+ x )^{ n +5}$ के द्विपद प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $5: 10: 14$ के अनुपात में हैं, तो इस प्रसार में सब से बड़ा गुणांक है
$m$ का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(1+x)^{m}$ के प्रसार में $x^{2}$ का गुणांक $6$ हो।
${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद है
यदि $\left(t^2 x^{\frac{1}{5}}+\frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t}\right)^{15}, x \geq 0$, के प्रसार में $t$, से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान $K$ है, तो $8 K$ बराबर है $...........$