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3-1.Vectors
hard
कथन $I$ - दो बल $(\overrightarrow{ P }+\overrightarrow{ Q })$ तथा $(\overrightarrow{ P }-\overrightarrow{ Q })$ जहाँ $\overrightarrow{ P } \perp \overrightarrow{ Q }$, जब एक दूसरे से $\theta_{1}$ कोण पर लगते हैं, तो परिणामी का परिमाण $\sqrt{3\left( P ^{2}+ Q ^{2}\right)}$ होता है तथा जब $\theta_{2}$ कोण पर लगते है, तो परिणामी का परिमाण $\sqrt{2\left( P ^{2}+ Q ^{2}\right)}$ होता है। यह तभी सम्भव होता है जब $\theta_{1}<\theta_{2}$ है।
कथन $II$ - उपयुर्क्त दी गयी दशा में $\theta_{1}=60^{\circ}$ तथा $\theta_{2}=90^{\circ}$ उपर्युक्त कथनों के अवलोकन में, नीचे दिए गये विकल्पों से उपयुक्त उत्तर चुनिए।
Aकथन$-I$ असत्य है परन्तु कथन$-II$ सही हैं।
Bदोनों कथन$-I$ तथा कथन$-I$I सत्य हैं।
Cकथन$-I$ सत्य है परन्तु कथन$-II$ असत्य हैं।
Dदोनों कथन$-I$ तथा कथन$-II$ असत्य हैं।
(JEE MAIN-2021)
Solution
$\overrightarrow{{A}}=\overrightarrow{{P}}+\overrightarrow{{Q}}$
$\overrightarrow{{B}}=\overrightarrow{{P}}-\overrightarrow{{Q}} \quad \overrightarrow{{P}} \perp \overrightarrow{{Q}}$
$|\overrightarrow{{A}}|=|\overrightarrow{{B}}|=\sqrt{{P}^{2}+{Q}^{2}}$
$|\overrightarrow{{A}}+\overrightarrow{{B}}|=\sqrt{2\left({P}^{2}+{Q}^{2}\right)(1+\cos \theta)}$
$\text { For }|\overrightarrow{{A}}+\overrightarrow{{B}}|=\sqrt{3\left({P}^{2}+{Q}^{2}\right)}$
$\theta_{1}=60^{\circ}$
For $|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{2\left(P^{2}+Q^{2}\right)}$
$\theta_{2}=90^{\circ}$
$\overrightarrow{{B}}=\overrightarrow{{P}}-\overrightarrow{{Q}} \quad \overrightarrow{{P}} \perp \overrightarrow{{Q}}$
$|\overrightarrow{{A}}|=|\overrightarrow{{B}}|=\sqrt{{P}^{2}+{Q}^{2}}$
$|\overrightarrow{{A}}+\overrightarrow{{B}}|=\sqrt{2\left({P}^{2}+{Q}^{2}\right)(1+\cos \theta)}$
$\text { For }|\overrightarrow{{A}}+\overrightarrow{{B}}|=\sqrt{3\left({P}^{2}+{Q}^{2}\right)}$
$\theta_{1}=60^{\circ}$
For $|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{2\left(P^{2}+Q^{2}\right)}$
$\theta_{2}=90^{\circ}$
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