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यदि $a$ त्रिज्या का एक गोला $v$ चाल से $\eta$ श्यानता नियताकं के एक द्रव में चलता है, तो स्टोक के नियमानुसार (Stoke's Law) उस पर $F$ श्यानता बल लगता है, जिसे निम्न समीकरण से दिखाया गया है : $F=6 \pi \eta a v$ यदि यह द्रव एक बेलनाकार नली, जिसकी त्रिज्या $r$, लंबाई 1 , एवं दोनों सिरों पर दाबांतर $P$ है, के अंदर बह रहा है, तब जल का $t$ समय में बहा हुआ आयतन निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
$\stackrel{v}{t}=k\left(\frac{p}{l}\right)^a \eta^b r^c \text {, }$
जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है । $a, b$ एवं $c$ के सही मान निम्नलिखित हैं:
$a=1, b=-1, c=4$
$a=-1, b=1, c=4$
$a=2, b=-1, c=3$
$a=1, b=-2, c=-4$
Solution
(a) By Stokes' law,
$F=6 \pi \eta a v$
We have, $\quad \eta=\frac{F}{6 \pi a v}$
Dimensions of viscosity index $\eta$ are
$\Rightarrow \quad[\eta]=\left[\frac{ MLT ^{-2}}{ L \cdot LT ^{-1}}\right]=\left[ ML ^{-1} T ^{-1}\right]$
Now, given relation of volume flow rate is
$\frac{V}{t}=k\left(\frac{p}{l}\right)^a \cdot \eta^b \cdot r^c$
Substituting dimensions of physical quantities and equating dimensions on both sides of equation, we have
$\frac{\left[ L ^3\right]}{[ T ]} =\left[ ML ^{-2} T ^{-2}\right]^a \cdot\left[ ML ^{-1} T ^{-1}\right]^b \cdot[ L ]^c$
$\Rightarrow\left[ M ^0 L ^3 T ^{-1}\right] =\left[ M ^{a+b} L ^{-2 a-b+c} T ^{-2 a-b}\right]$
$a+b=0 \quad \dots(i)$
$-2 a-b+c=3 \quad \dots(ii)$
$-2 a-b=-1 \quad \dots(iii)$
From Eqs. $(ii)$ and $(iii)$, we have
$c=4$
From Eqs. $(i)$ and $(iii)$, we have
$b=-1$
Substituting bin Eq. $(i)$, we have
$a=1$
So, $a=1, b=-1$ and $c=4$
Similar Questions
सूची $I$ को सूची $II$ से सुमेलित कीजिए और सूचियों के नीचे दिये गये कोड का प्रयोग करके सही उत्तर चुनिये :
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P.$बोल्ट्समान नियतांक | $1.$ $\left[ ML ^2 T ^{-1}\right]$ |
| $Q.$ श्यानता गुणांक | $2.$ $\left[ ML ^{-1} T ^{-1}\right]$ |
| $R.$ प्लांक नियतांक | $3.$ $\left[ MLT ^{-3} K ^{-1}\right]$ |
| $S.$ ऊष्माता चालक | $4.$ $\left[ ML ^2 T ^{-2} K ^{-1}\right]$ |
Codes: $ \quad \quad P \quad Q \quad R \quad S $
