माना $\sum_{\mathrm{r}=0}^{2023} \mathrm{r}^2{ }^{2023} \mathrm{C}_{\mathrm{r}}=2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ है। तो $\alpha$ का मान है___________. 

यदि ${C_0},{C_1},{C_2},.......,{C_n}$ द्विपद गुणांक हो, तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ का $n$ पदों तक मान होगा

$^{15}C_0^2{ - ^{15}}C_1^2{ + ^{15}}C_2^2 - ....{ - ^{15}}C_{15}^2$ का मान है

पूर्णांकों $n$ तथा $r$ के लिए,

माना $\left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right)=\left\{\begin{array}{cc}{ }^{ n } C _{ r }, & \text { if } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ तो $k$ का वह अधिकतम मान, जिसके लिए, योगफल $\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}15 \\ k-i\end{array}\right)+\sum_{i=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}12 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}13 \\ k+1-i\end{array}\right)$ का अस्तित्व है, ........... |

यदि ${(x - 2y + 3z)^n}$ के प्रसार में गुणांकों का योग $128$ हो, तो ${(1 + x)^n}$ के प्रसार में सबसे बड़ा गुणांक है

${(1 + x - 3{x^2})^{2134}}$ के गुणांकों का योग होगा