यदि ${C_0},{C_1},{C_2},…….,{C_n}$ द्विपद गुणांक हो, तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ….$ का $n$ पदों तक मान होगा

माना $n$ और $k$ धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $n \ge \frac{{k(k + 1)}}{2}$. ${x_1} + {x_2} + …. + {x_k} = n$ को सन्तुष्ट करने वाले हलों $({x_1},{x_2},….{x_k})$, जहाँ ${x_1} \ge 1,{x_2} \ge 2,….{x_k} \ge k,$ तथा सभी पूर्णांक हैं, की संख्या है

मान लीजिए कि $\left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} \mid$ तब योग $\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10}\left(\frac{10}{k}\right) k^2$ का मान किस अंतराल में होगा ?

माना $\alpha=\sum_{k=0}^{\mathrm{n}}\left(\frac{\left({ }^n C_k\right)^2}{k+1}\right)$ तथा $\beta=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{{ }^n C_k{ }^n C_{k+1}}{k+2}\right)$ हैं। यदि $5 \alpha=6 \beta$ हैं, तो $\mathrm{n}$ बराबर है …………

माना $(1+\mathrm{x})^{99}$ के प्रसार में $\mathrm{x}$ की विषम घातो के गुणांको का योग $\mathrm{K}$ है। माना $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$ के प्रसार में मध्य पद $\mathrm{a}$ है। यदि $\frac{{ }^{200} \mathrm{C}_{99} \mathrm{~K}}{\mathrm{a}}=\frac{2^{\ell} \mathrm{m}}{\mathrm{n}}$, है। जहाँ $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ विषम संख्याएँ हैं तो क्रमित युग्म $(\ell, \mathrm{n})$ बराबर है।