किसी समांतर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ $r$ वाँ पद क्रमशः $a, b, c$ हैं, तो सिद्ध कीजिए
$(q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0$
Let $t$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
The $n^{th}$ term of an $A.P.$ is given by, $a_{n}=t+(n-1) d$
Therefore,
$a_{p}=t+(p-1) d=a$ .........$(1)$
$a_{q}=t+(q-1) d=b$ .........$(2)$
$a_{r}=t+(r-1) d=c$ .........$(3)$
Subtracting equation $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1-q+1) d=a-b$
$\Rightarrow(p-q) d=a-b$
$\therefore d=\frac{a-b}{p-q}$ .........$(4)$
Subtracting equation $(3)$ from $(2),$ we obtain
$(q-1-r+1) d=b-c$
$\Rightarrow(q-r) d=b-c$
$\Rightarrow d=\frac{b-c}{q-r}$ .........$(5)$
Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{a-b}{p-q}=\frac{b-c}{q-r}$
$\Rightarrow(a-b)(q-r)=(b-c)(p-q)$
$\Rightarrow a q-b q-a r+b r=b p-b q-c p+c q$
$\Rightarrow b p-c p+c q-a q+a r-b r=0$
$\Rightarrow(-a q+a r)+(b p-b r)+(-c p+c q)=0$ ( By rearranging terms )
$\Rightarrow-a(q-r)-b(r-p)-c(p-q)=0$
$\Rightarrow a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$
Thus, the given result is proved.
अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए
$a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n},$ जहाँ $n \geq 2$
किसी समान्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $3n - 1$ है, तो इसके प्रथम पाँच पदों का योगफल होगा
यदि ${S_n}$ समान्तर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल दर्शाता हो, तो $({S_{2n}} - {S_n})$ का मान है
माना $a_1=8, a_2, a_3, \ldots a_n$ एक $A.P.$ हैं। यदि इसके प्रथम चार पदों का योग $50$ है तथा इसके अन्तिम चार पदों का योग $170$ है, तब इसके मध्य दो पदों का गुणनफल _____________हैं।
निम्नलिखित अनुक्रम में वांधित पद ज्ञात कीजिए, जिनका $n$ वाँ पर दिया गया है
$a_{n}=4 n-3 ; a_{17}, a_{24}$