किसी समांतर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ $r$ वाँ पद क्रमशः $a, b, c$ हैं, तो सिद्ध कीजिए
$(q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0$
Let $t$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
The $n^{th}$ term of an $A.P.$ is given by, $a_{n}=t+(n-1) d$
Therefore,
$a_{p}=t+(p-1) d=a$ .........$(1)$
$a_{q}=t+(q-1) d=b$ .........$(2)$
$a_{r}=t+(r-1) d=c$ .........$(3)$
Subtracting equation $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1-q+1) d=a-b$
$\Rightarrow(p-q) d=a-b$
$\therefore d=\frac{a-b}{p-q}$ .........$(4)$
Subtracting equation $(3)$ from $(2),$ we obtain
$(q-1-r+1) d=b-c$
$\Rightarrow(q-r) d=b-c$
$\Rightarrow d=\frac{b-c}{q-r}$ .........$(5)$
Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{a-b}{p-q}=\frac{b-c}{q-r}$
$\Rightarrow(a-b)(q-r)=(b-c)(p-q)$
$\Rightarrow a q-b q-a r+b r=b p-b q-c p+c q$
$\Rightarrow b p-c p+c q-a q+a r-b r=0$
$\Rightarrow(-a q+a r)+(b p-b r)+(-c p+c q)=0$ ( By rearranging terms )
$\Rightarrow-a(q-r)-b(r-p)-c(p-q)=0$
$\Rightarrow a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$
Thus, the given result is proved.
दो समांतर श्रेढ़ियों के $n$ पदों के योगफल का अनुपात $(3 n+8):(7 n+15)$ है। $12$ वें पद का अनुपात ज्ञात कीजिए।
समांतर श्रेणी $3,7,11,15...$ के कितने पदों का योग $406$ होगा
यदि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
यदि $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots \ldots \ldots, a _{ n }$ एक समान्तर श्रेढ़ी में है तथा $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\ldots \ldots . .+a_{16}=114$, है, तो $a_{1}+a_{6}+a_{11}+a_{16}$ बराबर है
यदि किसी समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पदों का योग $51$ है तथा प्रथम व तृतीय पद का गुणनफल $273$ है, तो संख्यायें हैं