किसी समांतर श्रेणी का $p$ वाँ, $q$ वाँ $r$ वाँ पद क्रमशः $a, b, c$ हैं, तो सिद्ध कीजिए
$(q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0$
Let $t$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively.
The $n^{th}$ term of an $A.P.$ is given by, $a_{n}=t+(n-1) d$
Therefore,
$a_{p}=t+(p-1) d=a$ .........$(1)$
$a_{q}=t+(q-1) d=b$ .........$(2)$
$a_{r}=t+(r-1) d=c$ .........$(3)$
Subtracting equation $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1-q+1) d=a-b$
$\Rightarrow(p-q) d=a-b$
$\therefore d=\frac{a-b}{p-q}$ .........$(4)$
Subtracting equation $(3)$ from $(2),$ we obtain
$(q-1-r+1) d=b-c$
$\Rightarrow(q-r) d=b-c$
$\Rightarrow d=\frac{b-c}{q-r}$ .........$(5)$
Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{a-b}{p-q}=\frac{b-c}{q-r}$
$\Rightarrow(a-b)(q-r)=(b-c)(p-q)$
$\Rightarrow a q-b q-a r+b r=b p-b q-c p+c q$
$\Rightarrow b p-c p+c q-a q+a r-b r=0$
$\Rightarrow(-a q+a r)+(b p-b r)+(-c p+c q)=0$ ( By rearranging terms )
$\Rightarrow-a(q-r)-b(r-p)-c(p-q)=0$
$\Rightarrow a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0$
Thus, the given result is proved.
यदि किसी समांतर श्रेणी की तीन संख्याओं का योग $24$ है तथा उनका गुणनफल $440$ है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
माना एक समान्तर श्रेणी के प्रथम $\mathrm{n}$ पदों का योग $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ है। यदि $\mathrm{S}_{10}=390$ तथा दसवें और पाँचवें पदों का अनुपात $15: 7$ है। तो $\mathrm{S}_{15}-\mathrm{S}_5$ बराबर है :
धनपूर्णांक के $5-$ टुपल्स $(tuples)$ $(a, b, c, d, e)$, इस प्रकार हैं कि
$I$. $a, b, c, d, e$ उत्तल पंचकोण $(Convex\,pentagon)$ के डिग्री में कोणों के माप हैं ।
$II$. $a \leq b \leq c \leq d \leq e$
$III$. $a, b, c, d, e$ अंकगणितीय श्रेढ़ी मे हैं ।
ऐसे कितने $5-$ टुपल्स सभव है ?
यदि किसी समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल $\left(p n+q n^{2}\right)$, है, जहाँ $p$ तथा $q$ अचर हों तो सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम तथा तृतीय पदों का योग $12$ है, तथा प्रथम व द्वितीय पदों का गुणनफल $24$ है, तब श्रेणी का प्रथम पद होगा