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बिन्दु $(0, 0)$ तथा $(1, 0)$ से होकर जाने वाले तथा वृत्त ${x^2} + {y^2} = 9$ को स्पर्श करने वाले वृत्त का केन्द्र है
$\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$
$\left( {\frac{1}{2}, - \sqrt 2 } \right)$
$\left( {\frac{3}{2},\frac{1}{2}} \right)$
$\left( {\frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right)$
Solution
(b) यदि दो वृत्त स्पर्श करते हैं, तथा उनमें से एक वृत्त, दूसरे वृत्त के केन्द्र से गुजरता है, तो वे वृत्त अन्त:स्पर्श करेंगे।
$\therefore $ ${C_1}{C_2} = {r_1} – {r_2}$
साथ ही, ${C_1}{C_2} = {r_2}$
$\therefore $ ${r_2} = {r_1} – {r_2}$
$ \Rightarrow $ ${r_2} = \frac{{{r_1}}}{2} = \frac{3}{2}$
माना, दूसरे वृत्त ${S_2}$ का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$\therefore $ यह $(0, 0)$, से गुजरता है अत: $c = 0$
यह वृत्त $(1, 0)$ से भी गुजरता है,
$\therefore $ $2g + 1 = 0$
$ \Rightarrow \,\,\,g = – \frac{1}{2}$
अत: ${C_2}\left( {\frac{1}{2},\, – f} \right)$ ,
अत: $\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {f^2}} = {r_2}$
$ \Rightarrow $ $\frac{1}{4} + {f^2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}$
$ \Rightarrow $ $f = \, \pm \,\,\sqrt 2 $
अत: अभीष्ट वृत्त का केन्द्र $\left( {\frac{1}{2},\, – \sqrt 2 } \right)$ है।
