$\left(1+x+x^{2}\right)^{10}$ के प्रसार में $x^{4}$ का गुणांक है

यदि $(1+x)^{34}$ के प्रसार में $(r-5)^{th}$ और$(2 r-1)^{th}$ पदों के गुणांक समान हों $r$ ज्ञात कीजिए।

${(x + a)^n}$ के विस्तार में दूसरा, तीसरा तथा चौथा पद क्रमश:  $240, 720$ और $1080$ हैं, तो $n$ का मान होगा

यदि $n$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है, तब ${(1 + x)^n}$ के प्रसार में महत्तम पद का गुणांक भी महत्तम हो, इसकी शर्त है

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{11}}$ के विस्तार में मध्य पद होगा

यदि $\left(\frac{\mathrm{x}^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{\mathrm{x}^{\ell}}\right)^9$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $-84$ है तथा $\mathrm{x}^{-3 \ell}$ का गुणांक $2^\alpha \beta$ है, जहाँ $\beta<0$ एक विषम संख्या है, तो $|\alpha \ell-\beta|$ बराबर है______________.