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फलन $f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-5 x+6}{x^2-9}\right)}{\log _e\left(x^2-3 x+2\right)}$ का प्रांत है
$(-\infty, 1) \cup(2, \infty)$
$(2, \infty)$
$\left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cup(2, \infty)$
$\left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cup(2, \infty)-\left\{\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right\}$
Solution
$-1 \leq \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9} \leq 1$
$\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}-1 \leq 0$
$\frac{1}{x+3} \geq 0$
$x \in(-3, \infty) \ldots \ldots(1)$
$\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}+1 \geq 0$
$\frac{2 x+1}{x+3} \geq 0$
$x \in(-\infty,-3) \cup\left[-\frac{1}{2}, \infty\right) \ldots \ldots(2)$
after taking intersection
$x \in\left[-\frac{1}{2}, \infty\right)$
$x^{2}-3 x+2>0$
$x \in(-\infty, 1) \cup(2, \infty)$
$x^{2}-3 x+2 \neq 1$
$x \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
after taking intersection of each solution
$\left[-\frac{1}{2}, 1\right) \cup(2, \infty)-\left\{\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}\right\}$
Similar Questions
माना कि $E_1=\left\{x \in R : x \neq 1\right.$ और $\left.\frac{x}{x-1}>0\right\}$
और $E_2=\left\{x \in E_1: \sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\right.$ एक वास्तविक संख्या (real number) है $\}$
(यहाँ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric function) $\sin ^{-1} x,\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में मान धारण करता है।)
माना कि फलन $f: E_1 \rightarrow R , f(x)=\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)$ के द्वारा परिभाषित है
और फलन $g: E_2 \rightarrow R , g(x)=\sin ^{-1}\left(\log _e\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)$ के द्वारा परिभाषित है।
| सूची $I$ | सूची $II$ |
| $P$ $f$ का परिसर (range) है | $1$ $\left(-\infty, \frac{1}{1- e }\right] \cup\left[\frac{ e }{ e -1}, \infty\right)$ |
| $Q$ $g$ के परिसर में समाहित (contained) है | $2$ $(0,1)$ |
| $R$ $f$ के प्रान्त (domain) में समाहित है | $3$ $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ |
| $S$ $g$ का प्रान्त है | $4$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$ |
| $5$ $\left(-\infty, \frac{ e }{ e -1}\right]$ | |
| $6$ $(-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2}, \frac{ e }{ e -1}\right]$ |
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
