यदि दीर्घवृत्त 3 x ^{2}+4 y ^{2}=12 के एक बिन्दु P प

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

यदि दीर्घवृत्त $3 x ^{2}+4 y ^{2}=12$ के एक बिन्दु $P$ पर अभिलम्ब, रेखा $2 x + y =4$ के समान्तर है तथा $P$ पर दीर्घवृत की स्पर्श रेखा $Q (4,4)$ से होकर जाती है, तो $PQ$ बराबर हैं

A

$\frac{{\sqrt {157} }}{2}$

B

$\frac{{5\sqrt 5 }}{2}$

C

$\frac{{\sqrt {221} }}{2}$

D

$\frac{{\sqrt {61} }}{2}$

(JEE MAIN-2019)

Solution

$3{x^2} + 4{y^2} = 12$

$\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1$

$x = 2\,\cos \theta ,y = \sqrt 3 \sin \theta $ Equation of noraml is $\frac{{{a^2}x}}{{{x_1}}} + \frac{{{b^2}y}}{{{y_1}}} = {a^2} – {b^2}$

$2\,x\,\sin \theta – \sqrt 3 \cos \theta y = \sin \theta \cos \theta $

Slope $\frac{2}{{\sqrt 3 }}\tan \theta = – 2\,\,\,\,\,$ $\therefore \tan \theta = – \sqrt 3 $

equation of tangent is it passes through $(4,4)$

$3\,x\cos \theta + 2\sqrt 3 \sin \theta y = 6$

$12\cos \theta + 8\sqrt 3 \sin \theta y = 6$

$\cos \theta = – \frac{1}{2},\sin \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\therefore {120^o}$

Hence point $P$ is $\left( {2\cos \theta {{120}^o},\sqrt 3 \sin {{120}^o}} \right)$

$P\left( { – 1,\frac{2}{2}} \right),Q\left( {4,4} \right)$

$PQ = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$

Standard 11

Mathematics

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