उस अतिपरवलय का समीकरण जिसके अक्ष, निर्देशांक अक्ष है। इसकी नाभियों के बीच की दूरी $16$ तथा उत्केन्द्रता $\sqrt 2 $  है, होगा

एक अविपरवलय बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ से होकर जाता है, तथा उसकी नाभियाँ $(\pm 2,0)$ पर है, तो अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्शरिखा जिस बिंदु से होकर जाती है, वह है:

वक्र $xy = {c^2}$ प्रदर्शित करता है  

माना बिंदु $\mathrm{P}(4,1)$ से अतिपरवलय $\mathrm{H}: \frac{\mathrm{y}^2}{25}-\frac{\mathrm{x}^2}{16}=1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\mathrm{m}_1$ तथा $\mathrm{m}_2$ हैं। यदि $\mathrm{Q}$ वह बिंदु है, जिससे $\mathrm{H}$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएं $\left|m_1\right|$ तथा $\left|m_2\right|$ हैं तथा यह स्पर्श रेखाएं $x$-अक्ष पर धनात्मक अंतःखंड $\alpha$ तथा $\beta$ बनाती है, तो $\frac{(\mathrm{PQ})^2}{\alpha \beta}$ बराबर है_________

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ का केन्द्र $C$ है। इस अतिपरवलय के किसी भी बिन्दु $P$ पर खींची गयी स्पर्श रेखा, सरल रेखाओं $bx - ay = 0$ व $bx + ay = 0$ को क्रमश: $Q$ व $R$ बिन्दुओं पर मिलती है, तो $CQ\;.\;CR = $

माना अतिपरवलय $\mathrm{H}$ की नाभियाँ $\mathrm{A}(1 \pm \sqrt{2}, 0)$ तथा उत्केन्द्रता $\sqrt{2}$ है। तो $\mathrm{H}$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई है :