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एक अतिपरवलय की नाभियाँ $( \pm 2,0)$ हैं तथा इसकी उत्केन्द्रता $\frac{3}{2}$ है। प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय के एक बिंदु पर एक स्पर्श रेखा, जो $2 x+3 y=6$ के लंबवत है, खींची जाती है। यदि यह स्पर्श रेखा, $x$ - तथा $y$-अक्षों पर क्रमशः अंतःखंड $a$ तथा $b$ बनाती है, तो $|6 \mathrm{a}|+|5 \mathrm{~b}|$ बराबर है_______.
$11$
$12$
$13$
$10$
Solution
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
$ae =2$ and $e =\frac{3}{2} \Rightarrow a =\frac{4}{3}$
also $b ^2= a ^2 e ^2- a ^2 \Rightarrow 4-\frac{16}{9}$
$\Rightarrow b^2=\frac{20}{9}$
$\text { Slope of tangent }=\frac{3}{2}$
So tangent equation will be
$y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2-b^2}$
$\Rightarrow y =\frac{3 x}{2} \pm \sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{9}{4}-\frac{20}{9}}$
$\Rightarrow y =\frac{3 x}{2} \pm \frac{4}{3} \Rightarrow\left| x _{\text {intercept }}\right|=\frac{8}{9}$
$\left|y_{\text {intercept }}\right|=\frac{4}{3}$
$\Rightarrow|6 a|+|5 b|=\frac{48}{9}+\frac{60}{9}=\frac{109}{9}=12$
