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वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x = 0$ द्वारा रेखा $y = x$ पर काटा गया अन्त:खण्ड $AB$ है। ऐसा वृत्त जिसका व्यास $AB$ है, का समीकरण है
${x^2} + {y^2} - x - y = 0$
${x^2} + {y^2} - 2x - y = 0$
${x^2} + {y^2} - x + y = 0$
${x^2} + {y^2} + x - y = 0$
Solution
(a) ${x^2} + {y^2} – 2x = 0$ तथा $y = x$ को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु $A (0,0)$ तथा $B (1,1)$ प्राप्त होते हैं।
अत: $AB$ को व्यास मानकर खींचे गये वृत्त का समीकरण
${x^2} + {y^2} – 2x + \lambda (y – x) = 0$
इसका केन्द्र $\left( {\frac{{2 + \lambda }}{2},\;\frac{{ – \lambda }}{2}} \right)$ है।
$AB$ को वृत्त का व्यास होने के लिये, केन्द्र $AB$ पर होना चाहिये अर्थात् $\frac{{2 + \lambda }}{2} = \frac{{ – \lambda }}{2}$
$ \Rightarrow \lambda = – 1$
अत: वृत्त का अभीष्ट समीकरण ${x^2} + {y^2} – 2x – y + x = 0$ या ${x^2} + {y^2} – x – y = 0$ है।
