एक बेलन की लम्बाई $0.1 \,cm$ अल्पतमांक की मीटर छड़ से मापी जाती है। इसका व्यास $0.01\, cm $ अल्पतमांक के वर्नियर कैलीपर्स से मापा जाता है। यदि बेलन की लम्बाई $5.0 \,cm$ तथा त्रिज्या $2.0 \,cm$ हो तो इसके आयतन की गणना में प्रतिशत त्रुटि ......... $\%$ होगी

किसी प्रयोग में चार राशियों $a , b , c$ तथा $d$ के मापन (नापने) में क्रमश: $1 \%, 2 \%, 3 \%$ तथा $4 \%$ की त्रुटि होती है। एक राशि $P$ का मान निम्नलिखित रूप से परिकलित किया जाता है : $P =\frac{ a ^{3} b ^{3}}{ cd }$ तो $P$ के मापन में प्रतिशत .......$(\%)$ त्रुटि होगी

यदि सभी स्वतंत्र राशियों (independent quantities) की मापन न्रुटियाँ (measurement errors) ज्ञात हो, तो किसी निर्भर राशि (dependent quantity) की न्रुटि का परिकलन (calculation) किया जा सकता है। इस परिकलन में श्रेणी प्रसार (series expansion) का प्रयोग किया जाता है और इस प्रसार को न्रुटि (error) के पहले घात (first power) पर रून्डित (truncate) किया जाता है। उदाहरण स्वरूप, सम्बन्ध $z=x / y$ में यदि $x, y$ और $z$ की त्रुटियाँ क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हों, तो

$z \pm \Delta z=\frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y}=\frac{x}{y}\left(1 \pm \frac{\Delta x}{x}\right)\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1} .$

$\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1}$ का श्रेणी प्रसार, $\Delta y / y$ में पहले घात तक, $1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र राशियों की आपेक्षिक त्रुटियाँ (relative errors) सदैव जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ की त्रुटि होगी

$\Delta z=z\left(\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}\right) .$

उपरोक्त परिकलन में $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$ माने गये हैं। इसलिए इन राशियों की उच्चतर घातें (higher powers) उपेक्षित हैं।

($1$) एक विमा-रहित (dimensionless) राशि $a$ को माप कर, एक अनुपात (ratio) $r=\frac{(1-a)}{(1+a)}$ का परिकलन करना है। यदि $a$ की मापन की त्रुटि $\Delta a$ है ( $\Delta a / a \ll 1)$, तो $r$ के परिकलन की त्रुटि $\Delta r$ क्या होगी?

$(A)$ $\frac{\Delta a }{(1+ a )^2}$  $(B)$ $\frac{2 \Delta a }{(1+ a )^2}$  $(C)$ $\frac{2 \Delta a}{\left(1-a^2\right)}$  $(D)$ $\frac{2 a \Delta a}{\left(1-a^2\right)}$

($2$) एक प्रयोग के आरंभ में रेडियोएक्टिव नाभिकों की संख्या $3000$ है। प्रयोग के पहले $1.0$ सेकंड में $1000 \pm 40$ नाभिकों का क्षय हो जाता है। यदि $|x| \ll 1$ हो, तो $x$ के पहले घात तक $\ln (1+x)=x$ है। क्षयांक (decay constant) $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda, s^{-1}$ में, हैtion of the decay constant $\lambda$, in $s ^{-1}$, is

$(A) 0.04$  $(B) 0.03$  $(C) 0.02$  $(D) 0.01$

इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$

एक भौतिक राशि $P$ निम्न संबंध द्वारा परिभाषित की जाती है।

$P=a^{1 / 2} b^{2} c^{3} d^{-4}$

यदि $a , b , c$ और $d$ के मापन में सापेक्ष त्रुटि क्रमशः $2 \%, 1 \%, 3 \%$ व $5 \%$ हो तो $P$ में सापेक्ष त्रुटि होगी

यदि छड़ $A$ की लम्बाई $3.25 \pm 0.01 \,cm$ एवं $B$ की लम्बाई $4.19 \pm 0.01\, cm $ है तो छड़ $A$ की तुलना में $B$ की लम्बाई कितना अधिक है

ठोस धातु के एक गोले के घनत्व को उसके द्रव्यमान तथा व्यास के द्वारा ज्ञात करते हैं। यदि द्रव्यमान तथा व्यास के मापन में सापेक्ष त्रुटियाँ क्रमशः $6.0 \,\%$ और $1.5\, \%$ हो तो गोले के व्यास में अधिकतम त्रुटि $\left(\frac{ x }{100}\right) \,\%$ हैं, और $x$ का मान हैं.....।