બિંદુ $(4,3)$ તથા ઉપવલય $x^{2}+2 y^{2}=4$ પરનાં બિંદુુઓને જોડતી રૈખાખંડનાં મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એ$\dots\dots\dots$ ઉત્કેન્દ્રતાવાળો ઉપવલય છે.

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ના બિંદુ $P$ આગળ દોરેલો સ્પર્શક યામાક્ષોને $A$ અને $B$ બિંદુઓ આગળ છેદે છે. તો $\Delta OAB$ નું ન્યૂનત્તમ ક્ષેત્રફળ મેળવો.

બે ગણ $A$ અને $B$ નીચે પ્રમાણે છે: $A = \{ \left( {a,b} \right) \in R \times R:\left| {a - 5} \right| < 1$ અને $\left| {b - 5} \right| < 1\} $; $B = \left\{ {\left( {a,b} \right) \in R \times R:4{{\left( {a - 6} \right)}^2} + 9{{\left( {b - 5} \right)}^2} \le 36} \right\}$ તો : . . . . .

જો $\frac{x}{a}\,\, + \;\,\frac{y}{b}\,\, = \,\,\sqrt 2 $ ઉપવલય  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$ ને સ્પર્શે, તો તેનો ઉત્કેન્દ્રીકોણ (Eccentric Angle) $\,\theta \,\, = \,\, ............ $ $^o$

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{9}\,\, = \,\,1$ની નાભિઓમાંથી પસાર થતાં અને $(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તૂળની ત્રિજ્યા =

ઉગમબિંદુ આગળ કેન્દ્રવાળા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે. જો એક નિયામિકા $x = 4$ હોય તો ઉપવલયનું સમીકરણ :