वक्रों $C _1: \frac{ x ^2}{4}+\frac{ y ^2}{9}=1$ तथा $C _2: \frac{ x ^2}{42}-\frac{ y ^2}{143}=1$ की एक ऊभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $T$ चतुर्थ चतुर्थाश से होकर नहीं जाती। यदि $T$ वक्र $C _1$ को $\left( x _1, y _1\right)$ पर तथा वक्र $C _2$ को $\left( x _2, y _2\right)$ पर स्पर्श करती है, तो $\left|2 x _1+ x _2\right|$ बराबर है $……….$

माना अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ पर दो भित्र बिंदु $P(3 \sec \theta, 2 \tan \theta)$ तथा $Q(3 \sec \phi, 2 \tan \phi)$ हैं, जहाँ $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ है, तो $P$ तथा $Q$ पर खींचे गए अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि (ordinate) है

यदि  $e$ तथा $e’$ क्रमश: दीर्घवृत्त $5{x^2} + 9{y^2} = 45$ तथा  अतिपरवलय $5{x^2} – 4{y^2} = 45$ की उत्केन्द्रता हो, तो $ee' = $ 

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ का केन्द्र $C$ है। इस अतिपरवलय के किसी भी बिन्दु $P$ पर खींची गयी स्पर्श रेखा, सरल रेखाओं $bx – ay = 0$ व $bx + ay = 0$ को क्रमश: $Q$ व $R$ बिन्दुओं पर मिलती है, तो $CQ\;.\;CR = $

समकोणिक अतिपरवलय की नियताओं के मध्य दूरी $10$ इकाई है, तब इसकी नाभियों के मध्य दूरी है