(a) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$…..$(i)$

माना ध्रुव $(h,\,k)$ है।

अब दीर्घवृत्त के सापेक्ष $(h,\,k)$ की ध्रुवी का समीकरण

$\frac{{xh}}{{{a^2}}} + \frac{{yk}}{{{b^2}}} = 1$  …..$(ii)$

यदि यह दीर्घवृत्त का अभिलम्ब है, तब

$ax\,\sec \theta  – \,by\,{\rm{cosec}}\,\theta  = {a^{\rm{2}}} – {b^2}$…..$(iii)$

$(ii)$ तथा $(iii)$ की तुलना करने पर,

$\frac{{(h/{a^2})}}{{a\,\sec \theta }} = \frac{{(k/{b^2})}}{{ – b\,\cos ec\theta }} = \frac{1}{{({a^2} – {b^2})}}$

$\cos \theta  = \frac{{{a^3}}}{{h\,({a^2} – {b^2})}}$

तथा $\sin \theta  = \frac{{{b^3}}}{{k({a^2} – {b^2})}}$

वर्ग करके जोड़ने पर,

$1 = \frac{1}{{{{({a^2} – {b^2})}^2}}}\left( {\frac{{{a^6}}}{{{h^2}}} + \frac{{{b^6}}}{{{k^2}}}} \right)\,$

अभीष्ट बिन्दुपथ है, $\frac{{{a^6}}}{{{x^2}}} + \frac{{{b^6}}}{{{y^2}}} = {({a^2} – {b^2})^2}.$