आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश : $9$ और $9.25$ हैं। यदि इनमें से छ: प्रेक्षण $6,7,10 , 12, 12$ और $13$ हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
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Let the remaining two observations be $x$ and $y$.
Therefore, the observations are $6,7,10,12,12,13, x, y$
Mean, $\bar{x}=\frac{6+7+10+12+12+13+x+y}{8}=9$
$\Rightarrow 60+x+y=72$
$\Rightarrow x+y=12$ ...........$(1)$
Variance $ = 9.25 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^8 {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
$9.25=\frac{1}{8}[(-3)^{2}+(-2)^{2}+(1)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}$
$+x^{2}+y^{2}-2 \times 9(x+y)+2 \times(9)^{2}]$
$9.25=\frac{1}{8}\left[9+4+1+9+9+16+x^{2}+y^{2}-18(12)+162\right]$ ........[ using $(1)$ ]
$9.25=\frac{1}{8}\left[48+x^{2}+y^{2}-216+162\right]$
$9.25=\frac{1}{8}\left[x^{2}+y^{2}-6\right]$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=80$ .........$(2)$
From $(1),$ we obtain
$x^{2}+y^{2}+2 x y=144$ ........$(3)$
From $(2)$ and $(3),$ we obtain
$2 x y=64$ ..........$(4)$
Subtracting $(4)$ from $(2),$ we obtain
$x^{2}+y^{2}-2 x y=80-64=16$
$\Rightarrow x-y=\pm 4 $ ...........$(5)$
Therefore, from $(1)$ and $(5),$ we obtain
$x=8$ and $y=4,$ when $x-y=4$
$x=4$ and $y=8,$ when $x-y=-4$
Thus, the remaining observations are $4$ and $8$
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$10$ प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः $20$ तथा $2$ हैं। इन $10$ प्रेक्षणों में से प्रत्येक को $p$ से गुणा करने के पश्चात प्रत्येक में से $q$ कम किया गया, जहाँ $p \neq 0$ तथा $q \neq 0$ हैं। यदि नए माध्य तथा मानक विचलन के मान अपने मूल मानों के आधे हैं, तो $q$ का मान हैं
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माना चार संख्याओं $3,7, x$ तथा $y ( x > y )$ के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $5$ तथा $10$ है। तो चार संख्याओं $3+2 x , 7+2 y , x + y$ तथा $x - y$ का माध्य ............ है
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माना $n$ प्रेक्षणों $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{ n }$ के माध्य बहुलक तथा प्रसरण क्रमश: $\bar{x}, M$ तथा $\sigma^{2}$ तथा $d _{ i }=-x_{ i }- a$, $i=1,2, \ldots, n$ हैं, जहाँ $a$ कोई संख्या हैं।
कथन $I$ : $d _{1}, d _{2}, \ldots, d _{ n }$ का प्रसरण $\sigma^{2}$ हैं
कथन $II$ : $d _{1}, d _{2}, \ldots, d _{ n }$ के माध्य तथा बहुलक क्रमाश: $-\bar{x}- a$ तथा $- M - a$ है
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कथन $I$ : $d _{1}, d _{2}, \ldots, d _{ n }$ का प्रसरण $\sigma^{2}$ हैं
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$10$ प्रेक्षणों $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \ldots, \mathrm{x}_{10}$ के लिए $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\alpha\right)=2$ तथा $\sum_{i=1}^{10}\left(x_i-\beta\right)^2=40$ हैं, जहाँ $\alpha$ तथा $\beta$ धनात्मक पूर्णांक है। माना इन प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\frac{6}{5}$ तथा $\frac{84}{25}$ है। तो $\frac{\beta}{\alpha}$ बराबर है:
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यदि आँकड़ों का प्रत्येक प्रेक्षण, जिसका प्रसरण ${\sigma ^2}$ है, $\lambda$ से बढ़ाया जाता है, तब नये समूह का प्रसरण है....
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