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4-2.Quadratic Equations and Inequations
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समीकरण $x^2+y^2=a^2+b^2+c^2$, यहाँ $x, y, a, b, c$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं, के कितने हल हैं?
A
$0$
B
$1$
C
$1$ से अधिक परन्तु सीमित
D
अनंत
(KVPY-2021)
Solution
(a)
Any prime other than 2,3 is of the form $6 k \pm 1$
$\therefore 6 k \pm 1= p$
$6 \lambda+1= p ^2$
$(I)$ If $2 \& 3$ are not solutions
$x^2 \equiv 1(\bmod 6)$
$y ^2 \equiv 1(\bmod 6)$
LHS $\equiv 2(\bmod 6)$
$RHS \equiv 3(\bmod 6)$
$(II)$ If $2$ is not then all are odd
$LHS$ $\equiv$ Even
$RHS$ $\equiv$ Odd
$C – I$ when $x = y =2$
$a^2+b^2+2=8$
Let $a =2$ then $b ^2+ c ^2=4$
which is not possible for prime ' $b$ ' \& 'c'
$C-II$ $x =2 ; y \neq 2$
$4+ y ^2= a ^2+ b ^2+ c ^2$
Not possible
$C-III$ $x \neq 2 ; y \neq 2$
Not possible
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