lambda ની એવી શકય કિમતોનો ગણ મેળવો કે જેથી વ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

The equation of the circles are

${x^2} + {y^2} - 10x - 10y + \lambda  = 0\,\,\,\,\,\,\,......\left( 1 \right)$

and ${x^2} + {y^2} - 4x

Vedclass · Accepted Answer

$(18, 42)$

Vedclass · Answer

The equation of the circles are

${x^2} + {y^2} - 10x - 10y + \lambda  = 0\,\,\,\,\,\,\,......\left( 1 \right)$

and ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,......\left( 2 \right)$

${C_1} = \,$ center of $\left( 1 \right) = \left( {5,5} \right)$

${C_2} = \,$ center of $\,\left( 2 \right) = \left( {2,2} \right)$

$ = {C_1}{C_2} = \sqrt {9 + 9}  = \sqrt {18} $

${r_1} = \sqrt {50 - \lambda } ,{r_2} = \sqrt 2 $

For exactly two common tangents we have

${r_1} - {r_2} < {C_1}{C_2} < {r_1} + {r_2}$

$ \Rightarrow \sqrt {50 - \lambda }  - \sqrt 2  < 3\sqrt 2  < \sqrt {50 - \lambda }  + \sqrt 2 $

$ \Rightarrow \sqrt {50 - \lambda }  - \sqrt 2  < 3\sqrt 2 $ or $\,3\sqrt 2  < \sqrt {50 - \lambda }  + \sqrt 2 $

$ \Rightarrow \sqrt {50 - \lambda }  < 4\sqrt 2 $ or $2\sqrt 2  < \sqrt {50 - \lambda } $

$50 - \lambda  < 32$ or $8 > 50 - \lambda $

$ \Rightarrow \lambda  < 18$ or $\lambda  < 42$

Required interval is $(18,42)$

$\lambda $ ની એવી શકય કિમતોનો ગણ મેળવો કે જેથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 4y+ 6\, = 0$ અને $x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda \, = 0$ ને બરાબર બે સામાન્ય સ્પર્શકો હોય

Similar Questions

વર્તૂળો ${(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} = {r^2}$ અને ${x^2} + {y^2} - 8x + 2y + 8 = 0$ બે ભિન્ન બિંદુમાં છેદે તો,

વર્તૂળ $x^2 + y^2 = 1 $ સાથે સંકળાયેલ અને અંદરથી સ્પર્શતા $(4, 3)$ કેન્દ્રવાળા વર્તૂળનું સમીકરણ....

જો વર્તૂળ, બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય અને વર્તૂળ $x^{2} + y^{2} = 4$ ને લંબરૂપે છેદે, તો તેના કેન્દ્રનો બિંદુ પથ....

જો વર્તૂળો ${x^2} + {y^2} + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ અને ${x^2} + {y^2} + 2x + 2y - {p^2} = 0$ નાં છેદબિંદુઓ $P$ અને $Q$ હોય,તો $P,Q$ અને $ (1,1)$ માંથી પસાર થતા વર્તૂળ માટે: