श्रेणी $\sqrt 2  + \sqrt 8  + \sqrt {18}  + \sqrt {32}  + .........$ के  $24$ पदों का योगफल है

माना $10 A.P.$, जिनके प्रथम पद $1,2,3, \ldots, 10$ तथा आर्व अंतर क्रमशः $1,3,5, \ldots, 19$ हैं, के $12$ पदों का योग क्रमश: $\mathrm{s}_1, \mathrm{~s}_2, \mathrm{~s}_3, \ldots, \mathrm{s}_{10}$ है। तो $\sum_{\mathrm{i}=1}^{10} \mathrm{~s}_{\mathrm{i}}$ बराबर है

धनपूर्णांक के $5-$ टुपल्स $(tuples)$ $(a, b, c, d, e)$, इस प्रकार हैं कि

$I$. $a, b, c, d, e$ उत्तल पंचकोण $(Convex\,pentagon)$ के डिग्री में कोणों के माप हैं ।

$II$. $a \leq b \leq c \leq d \leq e$

$III$. $a, b, c, d, e$ अंकगणितीय श्रेढ़ी मे हैं ।

ऐसे कितने $5-$ टुपल्स सभव है ?

$\sum\limits_{r = 1}^n {\log \left( {\frac{{{a^r}}}{{{b^{r - 1}}}}} \right)} $ का मान है

यदि तीन भिन्न संख्याएं $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेढ़ी में है तथा समीकरण $ax ^{2}+2 bx + c =0$ और $dx ^{2}+2 ex +$ $f=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है, तो निम्न में से कौन-सा एक कथन सत्य है ?

मान लें कि प्राकृत संख्याएँ $a, b, c, d, e$ एक अंकगणितीय श्रेढ़ी $(arithmetic\,\,progression)$ में इस प्रकार हैं कि $a+b+c+d+e$ एक पूर्णांक का घन $(cube)$ है तथा $b+c+d$ एक पूर्णांक का वर्ग है। तब $c$ संख्या में न्यूनतम अंक का मान है