मान लीजिए कि $\left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !} \mid$ तब योग $\frac{1}{2^{10}} \sum_{k=0}^{10}\left(\frac{10}{k}\right) k^2$ का मान किस अंतराल में होगा ?

$\frac{1}{1 ! 50 !}+\frac{1}{3 ! 48 !}+\frac{1}{5 ! 46 !}+\ldots+\frac{1}{49 ! 2 !}+\frac{1}{51 ! 1 !}$  का  मान है:

यदि $\left({ }^{30} \mathrm{C}_1\right)^2+2\left({ }^{30} \mathrm{C}_2\right)^2+3\left({ }^{30} \mathrm{C}_3\right)^2+\ldots \ldots .$. $30\left({ }^{30} \mathrm{C}_{30}\right)^2=\frac{\alpha 60 !}{(30 !)^2}$, है, तो $\alpha \cdot$ बराबर है :

यदि गुणनफल $\left(1+ x + x ^{2}+\ldots+ x ^{2 n }\right)\left(1- x + x ^{2}\right.$ $\left.- x ^{3}+\ldots+ x ^{2 n }\right)$ में, $x$ के सभी सम-घातों वाले गुणाकों का योगफल $61$ है, तो $n$ बराबर ……. है |

माना $\left(2 x ^{2}+3 x +4\right)^{10}=\sum_{ r =0}^{20} a _{ r } x ^{ r }$ है। तब $\frac{ a _{7}}{ a _{13}}$ का मान होगा