બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ થાય.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Le the two numbers be $a$ and $b$

$G.M.$ $=\sqrt{a b}$

According to the given condition,

$a+b=6 \sqrt{a b}$        ..........$(1)$

$\Rightarrow(a+b)^{2}=36(a b)$

Also,

$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b=36 a b-4 a b=32 a b$

$\Rightarrow a-b=\sqrt{32} \sqrt{a b}$

$=4 \sqrt{2} \sqrt{a b}$         .........$(2)$

Adding $(1)$ and $(2),$ we obtain

$2 a=(6+4 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

$a=(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

Substituting the value of $a$ in $(1),$ we obtain

$b=6 \sqrt{a b}-(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

$\Rightarrow b=(3-2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

$\frac{a}{b}=\frac{(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}}{(3-2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$

Thus, the required ratio is $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$

Similar Questions

સમગુણોત્તર શ્રેણી $a + ar + ar^2 + ar^3 +..... \infty$ નો સરવાળો $7$ અને $r$ ની અયુગ્મ ઘાતવાળા પદોનો સરવાળો $'3'$, હોય તો $(a^2 -r^2)$ is કિમત મેળવો .

સમગુણોત્તર શ્રેણી ધન પદો ધરાવે છે. દરેક પદ બરાબર તે પછીના બે પદોનો સરવાળો તો શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય ?

સમગુણોતર શ્રેણીનાં પ્રથમ અને બીજા પદનો સરવાળો  $12$  હોય અને ત્રીજા અને ચોથા પદ નો સરવાળો $48$ છે. જો સમગુણોતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો ધન અને ૠણ હોય તો શ્રેણીનું પ્રથમ પદ મેળવો.

  • [AIEEE 2008]

સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $\frac{65}{12}$ અને તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{65}{18}$ છે. જે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદનો ગુણાકાર $1$ અને ત્રીજુ પદ $\alpha$ હોય, તો $2 \alpha \,=.......$

  • [JEE MAIN 2021]

$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right)} $ ની કિંમત શોધો.