બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ થાય.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Le the two numbers be $a$ and $b$

$G.M.$ $=\sqrt{a b}$

According to the given condition,

$a+b=6 \sqrt{a b}$        ..........$(1)$

$\Rightarrow(a+b)^{2}=36(a b)$

Also,

$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b=36 a b-4 a b=32 a b$

$\Rightarrow a-b=\sqrt{32} \sqrt{a b}$

$=4 \sqrt{2} \sqrt{a b}$         .........$(2)$

Adding $(1)$ and $(2),$ we obtain

$2 a=(6+4 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

$a=(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

Substituting the value of $a$ in $(1),$ we obtain

$b=6 \sqrt{a b}-(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

$\Rightarrow b=(3-2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}$

$\frac{a}{b}=\frac{(3+2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}}{(3-2 \sqrt{2}) \sqrt{a b}}=\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$

Thus, the required ratio is $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$

Similar Questions

અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $1$ અને દરેક પદ તેના પછીના પદોના સરવાળા જેટલું હોય, તો તેનું ચોથું પદ કયું હશે ?

સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને $n$ મું પદ છે. જો $n$ પદોનો ગુણાકાર $P$ હોય, તો સાબિત કરો કે $P^{2}=(a b)^{n}$

જો $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં અને $x, y, t$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો $x, x - y, t - z$ કઈ શ્રેણીમાં હશે ?

$x$ ની કઈ કિંમત માટે $\frac{2}{7}, x,-\frac{7}{2}$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય ? 

શ્રેણી $\sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \ldots$ નું કેટલામું પદ $729$ થાય ?