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दो समान्तर श्रेणियों के $n$ पदों के योग का अनुपात $2n + 3:6n + 5$ है, तो इनके $13$ वें पदों का अनुपात होगा
$53 : 155$
$27 : 77$
$29 : 83$
$31 : 89$
Solution
(a) $\frac{{{S_{{n_1}}}}}{{{S_{{n_2}}}}} = \frac{{2n + 3}}{{6n + 5}}$
$⇒ \frac{{\frac{n}{2}[2{a_1} + (n – 1){d_1}]}}{{\frac{n}{2}[2{a_2} + (n – 1){d_2}]}} = \frac{{2n + 3}}{{6n + 5}}$
$⇒ \frac{{2\left[ {{a_1} + \left( {\frac{{n – 1}}{2}} \right)\,{d_1}} \right]}}{{2\left[ {{a_2} + \left( {\frac{{n – 1}}{2}} \right)\,{d_2}} \right]}} = \frac{{2n + 3}}{{6n + 5}}$
$⇒ \frac{{{a_1} + \left( {\frac{{n – 1}}{2}} \right)\,{d_1}}}{{{a_2} + \left( {\frac{{n – 1}}{2}} \right)\,{d_2}}} = \frac{{2n + 3}}{{6n + 5}}$
$⇒ n = 25$ रखने पर, $\frac{{{a_1} + 12{d_1}}}{{{a_2} + 12{d_2}}} = \frac{{2(25) + 3}}{{6(25) + 3}}$
$⇒ \frac{{{T_{{{13}_1}}}}}{{{T_{{{13}_2}}}}} = \frac{{53}}{{155}}$.
