मध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a)f'({x_1});$ $a < {x_1} < b$ से यदि $f(x) = \frac{1}{x}$, तो${x_1} = $
मध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a)f'({x_1});$ $a < {x_1} < b$ से यदि $f(x) = \frac{1}{x}$, तो${x_1} = $
- A
$\sqrt {ab} $
- B
$\frac{{a + b}}{2}$
- C
$\frac{{2ab}}{{a + b}}$
- D
$\frac{{b - a}}{{b + a}}$
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यदि मध्यमान प्रमेय से, $f'({x_1}) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}$, तो
यदि मध्यमान प्रमेय से, $f'({x_1}) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}$, तो
माना $\mathrm{f}:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1$, $x \in[2,4], f(2)=\frac{1}{2}$ तथा $f(4)=\frac{1}{4}$ हैं।
निम्न दो कथनों का विचार कीजिए :
($A$) सभी $\mathrm{x} \in[2,4]$ के लिए $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 1$, है।
($B$) सभी $x \in[2,4]$ के लिए $f(x) \geq \frac{1}{8}$ है। तो
माना $\mathrm{f}:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1$, $x \in[2,4], f(2)=\frac{1}{2}$ तथा $f(4)=\frac{1}{4}$ हैं।
निम्न दो कथनों का विचार कीजिए :
($A$) सभी $\mathrm{x} \in[2,4]$ के लिए $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 1$, है।
($B$) सभी $x \in[2,4]$ के लिए $f(x) \geq \frac{1}{8}$ है। तो
- [JEE MAIN 2023]
यदि $c$ एक बिंदु है जिस पर, अंतराल $[3,4]$ में, फलन $f( x )=\log _{ e }\left(\frac{ x ^{2}+\alpha}{7 x }\right)$ पर रोले प्रमेय लागू होता है, जहाँ $\alpha$ $\in R$ है, तो $f^{\prime \prime}( c )$ बराबर है
यदि $c$ एक बिंदु है जिस पर, अंतराल $[3,4]$ में, फलन $f( x )=\log _{ e }\left(\frac{ x ^{2}+\alpha}{7 x }\right)$ पर रोले प्रमेय लागू होता है, जहाँ $\alpha$ $\in R$ है, तो $f^{\prime \prime}( c )$ बराबर है
- [JEE MAIN 2020]
फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:
$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$
फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:
$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$
माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -
$x=-1$
$x=0$
$x=2$
$f(x)$
$3$
$6$
$0$
$g(x)$
$0$
$1$
$-1$
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है
माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -
| $x=-1$ | $x=0$ | $x=2$ | |
| $f(x)$ | $3$ | $6$ | $0$ |
| $g(x)$ | $0$ | $1$ | $-1$ |
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है
- [IIT 2015]