व्यंजक ${[x + {x^{{{\log }_{10}}(x)}}]^5}$ में $x$ का मान है, यदि इसके विस्तार में तीसरा पद $106$ हो

${(1 + x)^n}{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के प्रसार में $\frac{1}{x}$ का गुणांक है

$(1+x)\left(1+x^2\right)\left(1+x^3\right) \ldots\left(1+x^{100}\right)$ के विस्तार में $x^9$ के गुणांक का मान है

${(1 + x)^{10}}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक होगा

$\left(3^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}}\right)^{680}$ के प्रसार में पूर्णांक पदों की संख्या है

यदि $\left(\sqrt{\frac{1}{x^{1+\log _{10} x}}}+x^{\frac{1}{12}}\right)^{6}$ के द्विपद प्रसार का चौथा पद $200$ है तथा $x>1$ है, तो $x$ का मान है