$k$ के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि $\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0$ द्विपद प्रसार में अचर पद $2^8 . \ell$ हो जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है, होगी –

$\left(x-\frac{3}{x^{2}}\right)^{m}, x \neq 0,$ जहाँ $m$ एक प्राकृत संख्या है, के प्रसार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग $559$ है। प्रसार में $x^{3}$ वाला पद ज्ञात कीजिए।

$x$ के घटते घात $(decreasing\,powers)$ में $\left(x^{1 / 2}+\frac{1}{2 x^{1 / 4}}\right)^n$ का प्रसार $(expansion)$ लिखिए. मान लें कि पहले तीन पदों के गुणांकों $(coefficients)$ से अंकगणितीय शंढी $(arithmetic \,progression)$ बनती है। तब प्रसार मे $s$ के पूर्णांक घात $(integer\,powers)$ वालें पदों की संख्य है – –

यदि $\left(\frac{4 x}{5}-\frac{5}{2 x}\right)^{2022}$ के द्विपद प्रसार में अंत से $1011$ वाँ पद, आरंभ से $1011$ वें पद का $1024$ गुना है, तो $|\mathrm{x}|$ बराबर है –

गुणन $\left(2-x^{2}\right) \cdot\left(\left(1+2 x+3 x^{2}\right)^{6}+\left(1-4 x^{2}\right)^{6}\right)$ के प्रसार में $x^{2}$ का गुणांक है