घर्षणरहित, क्षैतिज, अचालक तथा त्रिज्य?

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1. Electric Charges and Fields

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घर्षणरहित, क्षैतिज, अचालक तथा त्रिज्या $R$ के एक वृत्ताकार वलय पर समान आवेश $q$ एवं द्रव्यमान $m$ की दो मणिकाओं (beads) को लगाया गया है। एक मणिका को वलय के किसी बिंदु पर चिपका दिया गया है जबकि दूसरी मणिका अपनी साम्यावस्था के सापेक्ष वलय पर लघु दोलन (small oscillations) करती है। इन लघु दोलनों की कोणीय आवृत्ति के वर्ग का मान होगा [ $\varepsilon_0$ मुक्त आकाश की विधुत शीलता है|]

A

$q^2 /\left(4 \pi \varepsilon_0 R^3 m\right)$

B

$q^2 /\left(32 \pi \varepsilon_0 R^3 m\right)$

C

$q^2 /\left(8 \pi \varepsilon_0 R^3 m\right)$

D

$q^2 /\left(16 \pi \varepsilon_0 R^3 m\right)$

(IIT-2024)

Solution

$\text { Restoring force }= qE \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$

$\therefore \tau= qE \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) R= I \alpha$

$E =\frac{ Kq }{\left(2 R \cos \frac{\theta}{2}\right)^2}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{ q }{4 R ^2 \cos ^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}$

$\therefore \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{ qR }{4 R ^2 \cos ^2\left(\frac{\theta}{2}\right)} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) q = mR ^2 \alpha$

For $\theta$ very small,

$\frac{-q^2}{32 \pi \varepsilon_0 R^3 m} \theta=\alpha$

$\therefore \omega^2=\frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 m^3}$

Hence option $(B)$

Standard 12

Physics

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