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4-2.Quadratic Equations and Inequations
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दो भिन्न बहुपद $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं: $f(x)=x^2+a x+2 ; \quad g(x)=x^2+2 x+a \text {. }$
यदि समीकरण $f(x)=0, g(x)=0$ का एक शून्यक साझा हो तो, समीकरण $f(x)+g(x)=0$ के शून्यकों का योग होगा :
A
$-\frac{1}{2}$
B
$0$
C
$\frac{1}{2}$
D
$1$
(KVPY-2015)
Solution
(c)
We have,
$f(x)=x^2+a x+2$ and $g(x)=x^2+2 x+a$
Let $\alpha$ be the common root of $f(x)=0$ and $g(x)=0$.
$\frac{\alpha^2}{a^2-4}=\frac{\alpha}{2-a}$
$\Rightarrow \alpha=\begin{array}{c}a^2-4 \\ 2-a\end{array}=\frac{(a+2)(a-2)}{-(a-2)}=-(a+2)$
and $\quad \frac{\alpha}{2-a}=\frac{1}{2-a} \Rightarrow \alpha=1$
$\therefore \quad-(a+2)=1$
$a+2=-1 \Rightarrow a=-3$
Now $\quad f(x)+g(x)=0$
$\therefore x^2-3 x+2+x^2+2 x-3=0$
$2 x^2-x-1=0$
Sum of roots $=\frac{1}{2} \quad\left[\because \alpha+\beta=\frac{-b}{a}\right]$
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