[2, 4] પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય f(x)=x^{2} માટે [2, 4] પ?

Hindi

5. Continuity and Differentiation

medium

$[2, 4]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x)=x^{2}$ માટે $[2, 4]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો.

$6$

Solution

The function $f(x)=x^{2}$ is continuous in $[2,4]$ and differentiable in $(2,4)$ as its derivative $f^{\prime}(x)=2 x$ is defined in $(2,4).$

Now, $\quad f(2)=4$ and $f(4)=16 .$ Hence

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{16-4}{4-2}=6$

$\mathrm{MVT}$ states that there is a point $c \in(2,4)$ such that $f^{\prime}(c)=6 .$ But $f^{\prime}(x)=2 x$ which implies $c=3 .$ Thus at $c=3 \in(2,4),$ we have $f^{\prime}(c)=6$

Standard 12

Mathematics

જો વિધેય $f(x) =2x^3 + bx^2 + cx, x \in [-1, 1],$ એ બિંદુ $x = \frac {1}{2}$ આગળ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે તો $2b+ c=$

medium

(JEE MAIN-2015)

મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $f(b) – f(a) = $ $(b – a)f'({x_1});$ $a < {x_1} < b$ જો $f(x) = {1 \over x}$, તો ${x_1} = $

easy

ધારો કે $f:[2,4] \rightarrow R$ એ એવું વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી

$\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1, x \in[2,4]$ જ્યાં $f(2)=\frac{1}{2}$ અને $f(4)=\frac{1}{4}$ છે.

નીચેના બે વિધાનો ધ્યાને લો.

$(A)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટે. $f(x) \leq 1$

$(B)$ : પ્રત્યેક $x \in[2,4]$ માટ $f(x) \geq \frac{1}{8}$ તો,

normal

(JEE MAIN-2023)

કઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $K$ માટે સમીકરણ $2x^3 + 3x + k = 0$ ના બે વાસ્તવિક બીજ $ [0, 1]$ અંતરાલમાં હોય ?

normal

જો $(1 -x + 2x^2)^n$ = $a_0 + a_1x + a_2x^2+….. a_{2n}x^{2n}$ , $n \in N$ , $x \in R$ અને $a_0$ , $a_2$ અને $a_1$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $n$ ની કેટલી શક્ય કિમંતો મળે.

normal