કોઈ એક અતિવલય, એ ઉપવલય $\frac{ x ^{2}}{25}+\frac{ y ^{2}}{16}=1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થાય છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષ અનુક્રમે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ સાથે એકાકાર છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર એક હોય, તો તે અતિવલયનું સમીકરણ ....... થશે.

જો અતિવલયનું કેન્દ્ર, શિરોબિંદુ અને નાભિકેન્દ્ર અનુક્રમે $ (0, 0), (4, 0)$  અને $ (6, 0) $ હોય, તો અતિવલયનું સમીકરણ.....

જે અતિવલયની નાભિઓ એ ઉપવલયની $\frac{{{x^2}}}{{25}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{9}\,\, = \,\,1$ ની નાભિઓ હોય અને ઉત્કેન્દ્રતા $2$ હોય, તેવા અતિવલયનું સમીકરણ.....

વિધાન $ (A) $ : બિંદુ  $(5, -4)$  એ અતિવલય  $y^2 - 9x^2 + 1 = 0 $ ની અંદર આવેલું છે.

કારણ ${\rm{(R)}}$ બિંદુઓ ${\rm{ (}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}$ એઅતિવલય ${\rm{ }}\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\, = \,\,1$ ની અંદર આવેલું , તો $\frac{{x_{^1}^2}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{y_1^2}}{{{b^2}}}\, - \,\,1\,\, < \,\,0$

ધારોકે અતિવલય$:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતતા $\sqrt{\frac{5}{2}}$ અને તેના નાભિલંબની લંબાઈ $6 \sqrt{2},$ છે જો $y=2 x+c$ એ અતિવલય $H$ ની સ્પર્શક હોય, તો $c^{2}$ નું મૂલ્ચ............. છે

આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો :  શિરોબિંદુઓ  $(\pm 7,\,0)$,  $e=\frac{4}{3}$