निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
समस्त पूणांकों के समुच्चय $Z$ में $R =\{(x, y): x-y$ एक पूर्णाक है $\}$ द्वरा परिभाषित स्यंषंध $R.$
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$\mathrm{R} =\{( \mathrm{x} , \mathrm{y} )\,:\, \mathrm{x} - \mathrm{y}$ is an integer $\}$
Now, for every $\mathrm{x} \in \mathrm{Z} ,( \mathrm{x} ,\,\mathrm{x} ) \in \mathrm{R}$ as $\mathrm{x} - \mathrm{x} =0$ is an integer.
$\therefore $ $\mathrm{R}$ is reflexive.
Now, for every $\mathrm{x} ,\, \mathrm{y} \in \mathrm{Z} ,$ if $( \mathrm{x} ,\,\mathrm{ y} ) \in \mathrm{R} ,$ then $\mathrm{x} - \mathrm{y}$ is an integer.
$\Rightarrow-(\mathrm{x}-\mathrm{y})$ is also an integer.
$\Rightarrow(\mathrm{y}-\mathrm{x})$ is an integer.
$\therefore $ $( \mathrm{y} ,\, \mathrm{x} ) \in \mathrm{R}$
$\therefore \mathrm{R}$ is symmetric.
Now, Let $( \mathrm{x} , \,\mathrm{y} )$ and $( \mathrm{y} ,\, \mathrm{z} ) \in \mathrm{R} ,$ where $\mathrm{x} ,\, \mathrm{y} ,\, \mathrm{z} \in \mathrm{Z}$
$\Rightarrow $ $(\mathrm{x}-\mathrm{y})$ and $(\mathrm{y}-\mathrm{z})$ are integers.
$\Rightarrow $ $\mathrm{x}-\mathrm{z}=(\mathrm{x}-\mathrm{y})+(\mathrm{y}-\mathrm{z})$ is an integer.
$\therefore$ $( \mathrm{x} ,\, \mathrm{z} ) \in \mathrm{R}$
$\therefore $ $\mathrm{R}$ is transitive.
Hence, $\mathrm{R}$ is reflexive, symmetric, and transitive.
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सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, $R =\{( P , Q ):$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। पुन: सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबीधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, $R =\{( P , Q ):$ बिंदु $P$ की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु $Q$ की मूल बिंदु से दूरी के समान है $\}$ द्वारा प्रदत्त संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। पुन: सिद्ध कीजिए कि बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबीधित सभी बिंदुओं का समुच्चय $P$ से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।
माना $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\} $ तथा $ S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\} $ समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ पर दो संबंध है, तब $RoS =$
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निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$
$R =\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं$\}$
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माना $N$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। $N$ पर दो द्विआधारी संबंध इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि $R _{1}=\{(x, y) \in N \times N : 2 x+y=10\}$ तथा $R _{2}=\{(x, y) \in N \times N : x+2 y=10\}$, तो
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- [JEE MAIN 2018]
संबंध $R$ परिभाषित है, $ R = \{(4, 5); (1, 4); (4, 6); (7, 6); (3, 7)\} $ तब ${R^{ - 1}}oR$ है
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