આપેલ અતિવલય માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો: $49 y^{2}-16 x^{2}=784$

જેની નિયામિકા $2x + y = 1$, નાભિકેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ઉત્કેન્દ્રીતા  $=\sqrt 3$ હોય, તેવા અતિવલયનું સમીકરણ.....

$P$ એ પરવલય $y^2 = 12x$ અને અતિવલય $8x^2 -y^2 = 8$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. જો $S$ અને $S'$ એ અતિવલયની નાભીઓ હોય જ્યાં $S$ એ ધન $x-$ અક્ષ પર હોય તો બિંદુ $P$  એ $SS'$ ને ................ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે .

અહી અતિવલય $H : \frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ એ બિંદુ $(2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})$ માંથી પસાર થાય છે. પરવલય દોરવામાં આવે છે કે જેથી તેની નાભીએ $H$ ની ધન $x$-યામ વાળી નાભી હોય છે અને પરવલયની નિયમિકાએ $H$ ની બીજી નાભીમાંથી પસાર થાય છે. જો પરવલયની નાભીલંબની લંબાઈએ $H$ ની નાભીલંબની લંબાઈ કરતાં $e$ ગણી છે કે જ્યાં $e$ એ અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રિતા છે તો આપેલ પૈકી ક્યૂ બિંદુ પરવલય પર આવેલ છે ?

કોઈ એક અતિવલય, એ ઉપવલય $\frac{ x ^{2}}{25}+\frac{ y ^{2}}{16}=1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થાય છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષ અનુક્રમે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ સાથે એકાકાર છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર એક હોય, તો તે અતિવલયનું સમીકરણ ....... થશે.

અહી રેખા $L: 2 x+y=k, k\,>\,0$  એ અતિવલય $x^{2}-y^{2}=3 $ નો સ્પર્શક છે . જો રેખા $L$ એ પરવલય $y^{2}=\alpha x$ નો સ્પર્શક હોય તો $\alpha$ ની કિમંત મેળવો.