अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$49 y^{2}-16 x^{2}=784$
अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$49 y^{2}-16 x^{2}=784$
The given equation is $49 y^{2}-16 x^{2}=784$
It can be written as $49 y^{2}-16 x^{2}=784$
Or, $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{49}=1$
Or, $\frac{y^{2}}{4^{2}}-\frac{x^{2}}{7^{2}}=1$ ......... $(1)$
On comparing equation $(1)$ with the standard equation of hyperbola i.e., $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,$ we obtain $a=4$ and $b=7$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore c^{2}=16+49=65$
$\Rightarrow c=\sqrt{65}$
Therefore, The coordinates of the foci are $(0,\,\pm \sqrt{65})$
The coordinates of the vertices are $(0,\,±4)$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{65}}{4}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 49}{4}=\frac{49}{2}$
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माना एक दीर्घवृत्त $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की उत्केन्द्रता, अतिपरवलय $2 x^2-2 y^2=1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम (reciprocal) है। यदि दीर्घवृत्त, अतिपरवलय को लंबवत काटता है, तो दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग है__________
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प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए
शीर्ष $(\pm 2,0),$ नाभियाँ $(±3,0)$
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माना अतिपरवलय $a^2 x^2-y^2=b^2$ की स्पर्श रेखा $\lambda x -2 y =\mu$ है। तब $\left(\frac{\lambda}{ a }\right)^2-\left(\frac{\mu}{ b }\right)^2$ बराबर है:
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माना $\mathrm{A}, \mathrm{x}$-अक्ष पर एक बिन्दु है। $\mathrm{A}$ से वक्रों $x^2+y^2=8$ व $y^2=16 x$ पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं खींची जाती हैं। यदि इनमें से एक स्पर्श रेखा दोनों वक्रों को $\mathrm{Q}$ तथा $\mathrm{R}$ पर स्पर्श करती है, तब $(\mathrm{QR})^2$ बराबर है :
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