{left( {1 + x} right)^{1000}} + x{left( {1 + | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Let given expansion be

$\mathrm{S}=(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}$

$(1+x)^{998}+\ldots+\ldots+x^{1006}$

Put $1+x=t$

$\mathrm{S}=t^{1000}+

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{\left( {1001} \right)!}}{{\left( {50} \right)!\left( {951} \right)!}}$

Vedclass · Answer

Let given expansion be

$\mathrm{S}=(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}$

$(1+x)^{998}+\ldots+\ldots+x^{1006}$

Put $1+x=t$

$\mathrm{S}=t^{1000}+x t^{999}+x^{2}(t)^{998}+\ldots+x^{1000}$

This is a $G.P$ with common ratio $\frac{x}{t}$

$S=\frac{t^{1000}\left[1-\left(\frac{x}{t}\right)^{1001}\right]}{1-\frac{x}{t}}$

${ = \frac{{{{(1 + x)}^{1000}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{x}{{1 + x}}} \right)}^{1001}}} \right]}}{{1 - \frac{x}{{1 + x}}}}}$

$ = \frac{{{{(1 + x)}^{1001}}\left[ {{{(1 + x)}^{1001}} - {x^{1001}}} \right]}}{{{{(1 + x)}^{1001}}}}$

$=\left[(1+x)^{100 t}-x^{1001}\right]$

Now coeff of $x^{50}$ in above expansion is equal to coeff of $x^{50}$ in $(1+x)^{1001}$ which is 

$^{1001} C_{50}=\frac{-(1001) !}{50 !(951) !}$

${\left( {1 + x} \right)^{1000}} + x{\left( {1 + x} \right)^{999}} + {x^2}{\left( {1 + x} \right)^{998}} + ..... + {x^{1000}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{50}$ નો સહગુણક મેળવો.

Similar Questions

$\left(x^{2 / 3}+\frac{1}{2} x^{-2 / 5}\right)^9$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $x^{2 / 3}$ અને $x^{-2 / 5}$ ના સહગુણકો નો સરવાળો ............ છે.

${(a + b)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ચોથાપદ નો સહગુણક 56 હોય, તો $n$ મેળવો.

જો $(1+a)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $a^{r-1}, a^{r}$ અને $a^{r+1}$ ના સહગુણકો સમાંત૨ શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે $n^{2}-n(4 r+1)+4 r^{2}-2=0$

$\left(1+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{4}$ ના મેળવો.

જો $\left(\alpha x^3+\frac{1}{\beta x}\right)^{11}$ માં $x^9$ નો સહગુણક અને $\left(\alpha x-\frac{1}{\beta x^3}\right)^{11}$ માં $x^{-9}$ નો સહગુણક સરખા હોય,તો $(\alpha \beta)^2=........$