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तीन घनात्मक पूर्णाकों $\mathrm{p}, \mathrm{q}, \mathrm{r}$, के लिए $\mathrm{x}^{\mathrm{pq}}=\mathrm{y}^{\mathrm{qr}}=\mathrm{z}^{\mathrm{p}^2 \mathrm{r}}, \mathrm{r}=\mathrm{pq}+1$ हैं तथा $3,3 \log _{\mathrm{y}} \mathrm{x}$, $3 \log _z y, 7 \log _x z$ एक $A.P.$ में है, जिसका सार्व अंतर $\frac{1}{2}$ है। तो $\mathrm{r}-\mathrm{p}-\mathrm{q}$ बराबर है
$2$
$6$
$12$
$-6$
Solution
$pq ^2=\log _{ x } \lambda$
$qr =\log _{ y } \lambda$
$p ^2 r =\log _{ z } \lambda$
$\log _{ y } x =\frac{ qr }{ pq ^2}=\frac{ r }{ pq } \ldots(1)$
$\log _{ x } z =\frac{ pq ^2}{ p ^2 r }=\frac{ q ^2}{ pr } \ldots(2)$
$\log _{ z } y =\frac{ p ^2 r }{ qr }=\frac{ p ^2}{ q } \ldots \ldots(3)$
$3, \frac{3 r }{ pq }, \frac{3 p ^2}{ q }, \frac{7 q ^2}{ pr } \text { in A.P }$
$\frac{3 r }{ pq }-3=\frac{1}{2}$
$r =\frac{7}{6} pq…..(4)$
$r = pq +1$
$pq =6 \ldots(5)$
$r =7 \ldots \ldots(6)$
$\frac{3 p ^2}{ q }=4$
After solving $p =2$ and $q =3$
