ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किंतु सममित न हो।
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Define a relation $R$ in $R$ as $:$
$\left.R=\{a, b): a^{3} \geq b^{3}\right\}$
Clearly $(a,a)\in R$ as $a^{3}=a^{3}$
$\therefore R$ is reflexive.
Now, $(2,1)\in R$ $[$ as $2^{3} \geq 1^{3}]$
But, $(1,2)\notin R$ $[$ as $1^{3} < 2^{3}]$
$\therefore R$ is not symmetric.
Now, Let $(a, b),\,(b, c) \in R$
$\Rightarrow a^{3} \geq b^{3}$ and $b^{3} \geq c^{3}$
$\Rightarrow a^{3} \geq c^{3}$
$\Rightarrow(a, c) \in R$
$\therefore R$ is transitive.
Hence, relation $R$ is reflexive and transitive but not symmetric.
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प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $ N$ पर संबंध $R, nRm $ के द्वारा परिभाषित है तथा $n, m $ का एक गुणनखण्ड है (अर्थात् $ n|m$) तब $R$ है।
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मान लीजिए कि समुच्चय $A =\{1,2,3,4,5,6,7\}$ में $R =\{(a, b): a$ तथा $b$ दोनों ही या तो विषम हैं या सम हैं$\}$ द्वारा परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है।
साथ ही सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय $\{1,3,5,7\}$ के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित है, और उपसमुच्चय $\{2,4,6\}$ के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित है, परंतु उपसमुच्चय $\{1,3,5,7\}$ का कोई भी अवयव उपसमुच्चय $\{2,4,6\}$ के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है।
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निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
समुच्चय $A =\{1,2,3, \ldots, 13,14\}$ में संबंध $R,$ इस प्रकार परिभाषित है कि $\mathrm{R}=\{(x, y): 3 x-y=0\}$
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माना $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}$ तथा $\mathrm{A}$ पर एक संबंध $\mathrm{R}=\{(1,2),(2,3),(1,4)\}$ है। माना $\mathrm{A}$ पर एक तुल्यता संबंध $\mathrm{S}$ है, $\mathrm{R} \subset \mathrm{S}$ है तथा $\mathrm{S}$ में अवयवों की संख्या $\mathrm{n}$ का निम्नतम मान है ...............
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- [JEE MAIN 2024]
माना $R$ तथा $ S $ समुच्चय $ A $ पर दो संबंध है, तब
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