समुच्चय $\{1,2,3\}$ पर संबंधों, जिनमें $(1,2)$ तथा $(2,3)$ है, तथा जो स्वतुल्य और संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है, की संख्या है____________।

माना संबंध ${R_1}$ परिभाषित है ${R_1} = \{ (a,\,b)|a \ge b,\,a,\,b \in R\} $ के द्वारा, तब ${R_1}$ है

यदि $R _1$ तथा $R _2$, समुच्चय $\{1,2, \ldots, 50\}$ में सम्बन्ध इस प्रकार है -

$R _1=\left\{\left( p , p ^{ n }\right): p\right.$ एक अभाज्य तथा $n \geq 0$ एक पूर्णांक है $\}$ और $R _2=\left\{\left( p , p ^{ n }\right): p\right.$ एक अभाज्य तथा $n =0$ या 1$\}$.तब, $R _1- R _2$ में अवयवों की संख्या है $.........$

ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए, जो सममित तथा संक्रामक हो कितु स्वतुल्य न हो।

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया हुआ है। $P ( X )$ जो कि $X$ के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से $P ( X )$ में एक संबंध $R$ परिभाषित कीजिए :

$P ( X )$ में उपसमुच्चयों $A , B$ के लिए, $ARB$, यदि और केवल यदि $A \subset B$ है। क्या $R , P ( X )$ में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।

सिद्ध कीजिए कि समुच्चय $\{1,2,3\}$ में $R =\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ द्वारा प्रद्त संबंध स्वतुल्य है, परंतु न तो सममित है और न संक्रामक है।